Les trinômes du second degréCours

I

Les trinômes du second degré : caractérisation

Trinôme du second degré

On appelle fonction trinôme du second degré (ou fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme) toute fonction T définie sur \mathbb{R} et admettant une expression du type :

T\left(x\right) = ax^{2} + bx + c

a, b et c sont des réels quelconques avec a\neq0

La fonction définie pour tout réel x par P\left(x\right) = 2x^2 + x - 3 est un trinôme du second degré.

Discriminant

Avec les notations précédentes, on appelle discriminant du trinôme T le réel :

\Delta = b^{2} - 4ac

On calcule le discriminant du trinôme défini pour tout réel x par P\left(x\right) = \textcolor{Blue}{2}x^2 + \textcolor{Red}{1}x \textcolor{Green}{- 3} :

\Delta = \textcolor{Red}{1}^2 - 4 \times \textcolor{Blue}{2} \times \textcolor{Green}{\left(-3\right)}

\Delta = 1 - \left(-24\right) = 1 + 24 = 25

Forme canonique d'un trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré. On appelle forme canonique de T\left(x\right) toute forme du type :

T(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

a, \alpha et \beta sont des réels quelconques avec a\neq0

Forme canonique

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Alors la forme canonique de T\left(x\right) est unique et donnée par :

T\left(x\right) = a \left( x -\alpha\right)^{2} +\beta avec \alpha=-\dfrac{b}{2a} et \beta=T\left(\alpha\right)=\dfrac{-\Delta}{4a}

La forme canonique du trinôme P défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=3x^2-5x+1 se détermine en calculant \alpha et \beta.

\alpha=\dfrac{-\left(-5\right)}{2\times3}=\dfrac56 et \beta =\dfrac{-\left( \left(-5\right)^2-4\times3\times1 \right)}{4\times3}=-\dfrac{13}{12}

Ainsi, la forme canonique est :

P\left(x\right)=3\left( x-\dfrac56\right)^2-\dfrac{13}{12}

II

Variations

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, où a, b et c sont des réels quelconques avec a\neq0. Notons T\left(x\right) = a \left( x -\alpha\right)\,^{2}+\beta sa forme canonique.

Cas 1

Si a\gt0

Le trinôme est décroissant sur \left] - \infty;\alpha\right] et croissant sur \left[ \alpha;+\infty\right[.

-
Cas 2

Si a\lt0

Le trinôme est croissant sur \left] - \infty;\alpha\right] et décroissant sur \left[ \alpha;+\infty\right[.

-
III

Représentation graphique

Parabole

On appelle parabole toute représentation graphique d'une fonction trinôme dans un repère du plan.

Sommet

On appelle sommet de la parabole le point correspondant à l'extremum de la fonction trinôme.

Parabole

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. La courbe représentative du trinôme T est une parabole, de sommet S :

S \text{ } \left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta }{4a}\right)

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=5x^2-2x+1

On a ici : a=5, b=-2, c=1.

Donc :

  • -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
  • -\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{\left(-2\right)^2-4\times5\times1}{4\times5}=-\dfrac{-16}{20}=\dfrac{4}{5}

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=5x^2-2x+1 est donc une parabole de sommet S de coordonnées : \left( \dfrac15;\dfrac45 \right).

L'allure de la parabole représentative du trinôme T dépend du signe de a :

  • Si a \gt 0, alors la parabole décroît puis croît et le trinôme admet donc un minimum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).
  • Si a \lt 0, alors la parabole croît puis décroît et le trinôme admet donc un maximum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. On note \Delta son discriminant.

Cas 1

Allure de la parabole si a \gt 0 et \Delta \lt 0

-

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=5x^2-2x+1 avec a=5 et \Delta=-16 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Cas 2

Allure de la parabole si a \gt 0 et \Delta = 0

-

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=3x^2-30x+75 avec a=3 et \Delta=0 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe et l'axe des abscisses ont un point en commun.

Cas 3

Allure de la parabole si a \gt 0 et \Delta \gt 0

-

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=2x^2+8x-24 avec a=2 et \Delta=256 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.

Cas 4

Allure de la parabole si a \lt 0 et \Delta \lt 0

-

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=-3x^2+4x-13 avec a=-3 et \Delta=-140 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.

Cas 5

Allure de la parabole si a \lt 0 et \Delta = 0

-

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=-5x^2-70x-245 avec a=-5 et \Delta=0 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe et l'axe des abscisses ont un point en commun.

Cas 6

Allure de la parabole si a \lt 0 et \Delta \gt 0

-

La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=-7x^2+21x-14 avec a=-7 et \Delta=49 a une allure similaire à celle ci-dessus.

On remarque que la courbe coupe deux fois l'axe des abscisses.

IV

Racines du trinôme

Racines

Soit T une fonction trinôme définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Les racines du trinôme T\left(x\right) sont les valeurs de x pour lesquelles il s'annule. Ce sont les solutions de l'équation T\left(x\right)=0 c'est-à-dire ax^2+bx+c=0 .

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Notons \Delta son discriminant.

Cas 1

Si \Delta \lt 0

Le trinôme n'a pas de racine réelle.

Considérons le polynôme P\left(x\right)=5x^2-2x+1.

\Delta=\left(-2\right)^2-4\times5\times1=-16

Le polynôme ne possède pas de racine car \Delta\lt0.

-
Cas 2

Si \Delta = 0

Le trinôme a une unique racine qu'on appelle racine double :

x_{0} = -\dfrac{b}{2a}

Considérons le polynôme P\left(x\right)=-5x^2-70x-245.

\Delta=\left(-70\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-245\right)=0

Le polynôme possède une racine double car \Delta=0.

x_0=\dfrac{-\left(-70\right)}{2\times\left(-5\right)}=-7

-
Cas 3

Si \Delta\gt0

Le trinôme a deux racines réelles distinctes :

x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}

Considérons le polynôme P\left(x\right)=3x^2-2x-1.

\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-1\right)=16

On a donc \Delta\gt0. Le trinôme possède deux racines :

x_1=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times3}=-\dfrac13 et x_2=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times3}=1

-
V

Factorisation du trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Notons \Delta son discriminant.

Cas 1

Si \Delta\lt0

Le trinôme n'est pas factorisable.

Considérons le polynôme P\left(x\right)=5x^2-2x+1.

\Delta=\left(-2\right)^2-4\times5\times1=-16

Le polynôme ne possède pas de racine car \Delta\lt0.

On ne peut pas factoriser le trinôme.

Cas 2

Si \Delta=0

Le trinôme peut se factoriser sous la forme :

T\left(x\right) = a \left(x - x_{0}\right)^{2}

Considérons le polynôme P\left(x\right)=-5x^2-70x-245.

\Delta=\left(-70\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-245\right)=0

Le polynôme possède une racine double car \Delta=0.

x_0=\dfrac{-\left(-70\right)}{2\times\left(-5\right)}=-7

Il peut s'écrire sous la forme : P\left(x\right)=-5\left( x-\left(-7\right) \right)^2=-5\left( x+7 \right)^2.

Cas 3

Si \Delta\gt0

Le trinôme peut se factoriser sous la forme :

T\left(x\right) = a \left(x - x_{1}\right) \left(x - x_{2}\right)

Considérons le polynôme P\left(x\right)=3x^2-2x-1.

\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-1\right)=16

On a donc \Delta\gt0. Le trinôme possède deux racines :

x_1=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times3}=-\dfrac13 ou x_2=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times3}=1

Il peut s'écrire sous forme factorisée :

P\left(x\right)=3\left( x-\left( -\dfrac13 \right) \right)\left( x-1 \right)=3\left( x+\dfrac13 \right)\left( x-1 \right).

VI

Signe du trinôme

Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Notons \Delta son discriminant.

Cas 1

Si \Delta\lt0

-

Considérons le polynôme P\left(x\right)=5x^2-2x+1.

\Delta=-16

Donc le polynôme ne possède pas de racine car \Delta\lt0.

Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=5. Donc P\left(x\right)\gt0, pour tout réel x.

La parabole représentant le polynôme est toujours située strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

-
Cas 2

Si \Delta=0

-

Considérons le polynôme P\left(x\right)=-5x^2-70x-245.

Le polynôme possède une racine double, car \Delta=0, qui est x_0=-7.

Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=-5. Donc P\left(x\right)\leq0, pour tout réel x.

La parabole représentant le polynôme est toujours située au-dessous de l'axe des abscisses.

-
Cas 3

Si \Delta\gt0

-

Considérons le polynôme P\left(x\right)=3x^2-2x-1.

\Delta=16

On a donc \Delta\gt0. Le trinôme possède deux racines : x_1=-\dfrac13 et x_2=1.

Le polynôme a le signe de a=3 "à l'extérieur des racines" et le signe contraire "entre les racines".

Pour tout réel x\in\left] -\infty ;-\dfrac13\right]\cup\left[ 1;+\infty \right[, on a P\left(x\right)\geq 0 et la parabole est située au-dessus de l'axe des abscisses.

Pour tout réel x\in\left[ -\dfrac13;1\right], on a P\left(x\right)\leq 0 et la parabole est située au-dessous de l'axe des abscisses.

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