Les trinômes du second degré : caractérisation
Trinôme du second degré
On appelle fonction trinôme du second degré (ou fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme) toute fonction T définie sur \mathbb{R} et admettant une expression du type :
T\left(x\right) = ax^{2} + bx + c
Où a, b et c sont des réels quelconques avec a\neq0
La fonction définie pour tout réel x par P\left(x\right) = 2x^2 + x - 3 est un trinôme du second degré.
Discriminant
Avec les notations précédentes, on appelle discriminant du trinôme T le réel :
\Delta = b^{2} - 4ac
\Delta = \textcolor{Red}{1}^2 - 4 \times \textcolor{Blue}{2} \times \textcolor{Green}{\left(-3\right)}
\Delta = 1 - \left(-24\right) = 1 + 24 = 25
Forme canonique d'un trinôme
Soit T une fonction trinôme du second degré. On appelle forme canonique de T\left(x\right) toute forme du type :
T(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
Où a, \alpha et \beta sont des réels quelconques avec a\neq0
Forme canonique
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Alors la forme canonique de T\left(x\right) est unique et donnée par :
T\left(x\right) = a \left( x -\alpha\right)^{2} +\beta avec \alpha=-\dfrac{b}{2a} et \beta=T\left(\alpha\right)=\dfrac{-\Delta}{4a}
La forme canonique du trinôme P défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=3x^2-5x+1 se détermine en calculant \alpha et \beta.
\alpha=\dfrac{-\left(-5\right)}{2\times3}=\dfrac56 et \beta =\dfrac{-\left( \left(-5\right)^2-4\times3\times1 \right)}{4\times3}=-\dfrac{13}{12}
Ainsi, la forme canonique est :
P\left(x\right)=3\left( x-\dfrac56\right)^2-\dfrac{13}{12}
Variations
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, où a, b et c sont des réels quelconques avec a\neq0. Notons T\left(x\right) = a \left( x -\alpha\right)\,^{2}+\beta sa forme canonique.
Représentation graphique
Parabole
On appelle parabole toute représentation graphique d'une fonction trinôme dans un repère du plan.
Sommet
On appelle sommet de la parabole le point correspondant à l'extremum de la fonction trinôme.
Parabole
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. La courbe représentative du trinôme T est une parabole, de sommet S :
S \text{ } \left(-\dfrac{b}{2a}; -\dfrac{\Delta }{4a}\right)
Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=5x^2-2x+1
On a ici : a=5, b=-2, c=1.
Donc :
- -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
- -\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{\left(-2\right)^2-4\times5\times1}{4\times5}=-\dfrac{-16}{20}=\dfrac{4}{5}
La courbe représentative de la fonction f\left(x\right)=5x^2-2x+1 est donc une parabole de sommet S de coordonnées : \left( \dfrac15;\dfrac45 \right).
L'allure de la parabole représentative du trinôme T dépend du signe de a :
- Si a \gt 0, alors la parabole décroît puis croît et le trinôme admet donc un minimum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).
- Si a \lt 0, alors la parabole croît puis décroît et le trinôme admet donc un maximum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole).
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. On note \Delta son discriminant.
Racines du trinôme
Racines
Soit T une fonction trinôme définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Les racines du trinôme T\left(x\right) sont les valeurs de x pour lesquelles il s'annule. Ce sont les solutions de l'équation T\left(x\right)=0 c'est-à-dire ax^2+bx+c=0.
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Notons \Delta son discriminant.
Si \Delta = 0
Le trinôme a une unique racine qu'on appelle racine double :
x_{0} = -\dfrac{b}{2a}
Considérons le polynôme P\left(x\right)=-5x^2-70x-245.
\Delta=\left(-70\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-245\right)=0
Le polynôme possède une racine double car \Delta=0.
x_0=\dfrac{-\left(-70\right)}{2\times\left(-5\right)}=-7
Si \Delta\gt0
Le trinôme a deux racines réelles distinctes :
x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}
x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}
Considérons le polynôme P\left(x\right)=3x^2-2x-1.
\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-1\right)=16
On a donc \Delta\gt0. Le trinôme possède deux racines :
x_1=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times3}=-\dfrac13 et x_2=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times3}=1
Factorisation du trinôme
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Notons \Delta son discriminant.
Si \Delta\lt0
Le trinôme n'est pas factorisable.
Considérons le polynôme P\left(x\right)=5x^2-2x+1.
\Delta=\left(-2\right)^2-4\times5\times1=-16
Le polynôme ne possède pas de racine car \Delta\lt0.
On ne peut pas factoriser le trinôme.
Si \Delta=0
Le trinôme peut se factoriser sous la forme :
T\left(x\right) = a \left(x - x_{0}\right)^{2}
Considérons le polynôme P\left(x\right)=-5x^2-70x-245.
\Delta=\left(-70\right)^2-4\times\left(-5\right)\times\left(-245\right)=0
Le polynôme possède une racine double car \Delta=0.
x_0=\dfrac{-\left(-70\right)}{2\times\left(-5\right)}=-7
Il peut s'écrire sous la forme : P\left(x\right)=-5\left( x-\left(-7\right) \right)^2=-5\left( x+7 \right)^2.
Si \Delta\gt0
Le trinôme peut se factoriser sous la forme :
T\left(x\right) = a \left(x - x_{1}\right) \left(x - x_{2}\right)
Considérons le polynôme P\left(x\right)=3x^2-2x-1.
\Delta=\left(-2\right)^2-4\times3\times\left(-1\right)=16
On a donc \Delta\gt0. Le trinôme possède deux racines :
x_1=\dfrac{-\left(-2\right)-\sqrt{16}}{2\times3}=-\dfrac13 ou x_2=\dfrac{-\left(-2\right)+\sqrt{16}}{2\times3}=1
Il peut s'écrire sous forme factorisée :
P\left(x\right)=3\left( x-\left( -\dfrac13 \right) \right)\left( x-1 \right)=3\left( x+\dfrac13 \right)\left( x-1 \right).
Signe du trinôme
Soit T une fonction trinôme du second degré définie sur \mathbb{R} par T\left(x\right)=ax^2+bx+c, avec a\neq0. Notons \Delta son discriminant.
Si \Delta\lt0
Considérons le polynôme P\left(x\right)=5x^2-2x+1.
\Delta=-16
Donc le polynôme ne possède pas de racine car \Delta\lt0.
Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=5. Donc P\left(x\right)\gt0, pour tout réel x.
La parabole représentant le polynôme est toujours située strictement au-dessus de l'axe des abscisses.
Si \Delta=0
Considérons le polynôme P\left(x\right)=-5x^2-70x-245.
Le polynôme possède une racine double, car \Delta=0, qui est x_0=-7.
Quelle que soit la valeur de x, le polynôme a le signe de a=-5. Donc P\left(x\right)\leq0, pour tout réel x.
La parabole représentant le polynôme est toujours située au-dessous de l'axe des abscisses.
Si \Delta\gt0
Considérons le polynôme P\left(x\right)=3x^2-2x-1.
\Delta=16
On a donc \Delta\gt0. Le trinôme possède deux racines : x_1=-\dfrac13 et x_2=1.
Le polynôme a le signe de a=3 "à l'extérieur des racines" et le signe contraire "entre les racines".
Pour tout réel x\in\left] -\infty ;-\dfrac13\right]\cup\left[ 1;+\infty \right[, on a P\left(x\right)\geq 0 et la parabole est située au-dessus de l'axe des abscisses.
Pour tout réel x\in\left[ -\dfrac13;1\right], on a P\left(x\right)\leq 0 et la parabole est située au-dessous de l'axe des abscisses.
