Donner le tableau de variations d'une fonction trinôme Méthode

Sommaire

1Déterminer le signe de a 2Enoncer le sens de variation de f selon le signe de a 3Calculer \dfrac{-b}{2a} et f\left(\dfrac{-b}{2a}\right) 4Dresser le tableau de variations de f

Une fonction trinôme est définie sur \mathbb{R} et a une expression de la forme f\left(x\right)=ax^2+bx+c. On sait déterminer ses variations sur \mathbb{R}.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=-2x^2+4x-1.

Déterminer le tableau de variations de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Déterminer le signe de a

On donne la valeur de a, coefficient de x2 dans le trinôme. On détermine son signe.

La fonction f est une fonction trinôme du second degré.

Pour tout réel x, f\left(x\right)=-2x^2+4x-1.

On a a=-2, donc a<0.

Etape 2

Enoncer le sens de variation de f selon le signe de a

  • Si a>0 alors la fonction est strictement décroissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement croissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[
  • Si a<0 alors la fonction est strictement croissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement décroissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[

Ici, a<0, la fonction est donc strictement croissante sur \left] -\infty;\dfrac{-b}{2a} \right] et strictement décroissante sur \left[ \dfrac{-b}{2a}; +\infty\right[.

Etape 3

Calculer \dfrac{-b}{2a} et f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)

On calcule alors les coordonnées du sommet :

  • Son abscisse vaut \dfrac{-b}{2a}
  • Son ordonnée vaut f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)

On calcule les coordonnées du sommet.

  • \dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times\left(-2\right)}=\dfrac{-4}{-4}=1
  • f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)=f\left(1\right)=-2\times1^2+4\times1-1=-2+4-1=1

Le sommet de la parabole a pour coordonnées (1 ; 1).

Etape 4

Dresser le tableau de variations de f

On peut alors dresser le tableau de variations de f.

On obtient le tableau de variations de f :

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