Résoudre une équation du second degréMéthode

Une équation du second degré est une équation pouvant se ramener à une équation de la forme ax^2+bx+c=0, avec a\neq0.

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation : 2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'égalité

Si ce n'est pas déjà le cas, on regroupe tous les termes dans le même membre de l'équation pour se ramener à une équation du type ax^2+bx+c, avec a\neq0.

On regroupe tous les termes du même côté de l'égalité. Pour tout réel x :

2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3

\Leftrightarrow2x^2 -3x+7-5x^2-4x+3=0

\Leftrightarrow-3x^2-7x+10=0

Etape 2

Résoudre l'équation obtenue précédemment

Il s'agit désormais de déterminer les racines, s'il en existe, du trinôme du second degré ax^2+bx+c obtenu précédemment.
On calcule le discriminant \Delta et on conclut :

  • Si \Delta>0, l'équation admet deux racines réelles distinctes que l'on calcule :
    x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  • Si \Delta=0, l'équation admet une racine double que l'on calcule x_0=\dfrac{-b}{2a}.
  • Si \Delta<0, l'équation n'admet pas de racine réelle.

Avant d'utiliser la méthode de résolution d'une équation par calcul du discriminant, vérifier que le trinôme n'est pas directement factorisable (identité remarquable ou facteur commun par exemple).

Résoudre l'équation : 2x^2+3x+2=x^2+x+1

En regroupant tous les termes du même côté de l'égalité on obtient :

2x^2+3x+2-x^2-x-1=0

d'où : x^2+2x+1=0

On reconnaît l'identité remarquable \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2 avec a=x et b=1

L'équation devient donc : \left(x+1\right)^2 =0

Elle a pour unique solution : x=-1

Résoudre dans \mathbb{R} l'équation : 3x^2+2x+2=x^2-x+2

En regroupant tous les termes du même côté de l'égalité on obtient :

3x^2+2x+2-x^2+x-2=0

Soit 2x^2+3x=0

En factorisant on obtient :

x\left(2x+3\right)=0, équation qui admet deux solutions :

x=0 et x=\dfrac{-3}{2}.

Déterminer les solutions de l'équation 2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3 revient donc à résoudre l'équation :

-3x^2-7x+10=0

On commence par calculer le discriminant \Delta, avec a=-3, b=-7 et c=10.

\Delta = b^2-4ac=\left(-7\right)^2-4\times\left(-3\right)\times10=49+120=169=13^2

\Delta>0, l'équation -3x^2-7x+10=0 admet donc deux solutions réelles distinctes :

x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-7\right)+\sqrt{169}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{7+13}{\left(-6\right)}=\dfrac{-20}{6}=\dfrac{-10}{3}

x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\left(-7\right)-\sqrt{169}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{7-13}{-6}=\dfrac{-6}{-6}=1

Les solutions de l'équation 2x^2 -3x+7=5x^2+4x-3 sont donc \dfrac{-10}{3} et 1.