Déterminer des réels a, b et c pour factoriser un polynômeMéthode

On a un polynôme P de degré 3 de coefficients connus.

Si on sait qu'elle existe, on peut déterminer les coefficients a, b et c de la forme factorisée de P tels que P\left(x\right) =\left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right).

Soit le polynôme, défini par :

\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5.

Déterminer les réels a, b et c tels que :

\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right).

Etape 1

Développer l'expression comportant les inconnues

On a, \forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right).

On développe l'expression factorisée de P.

On a :

\forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right).

On développe l'expression factorisée de P :

P\left(x\right) = ax^3+bx^2+cx -ax^2-bx-c

Etape 2

Regrouper les termes par puissance de x

On regroupe les termes par puissance de x, puis on factorise par chaque puissance de x. On obtient une expression de la forme :

P\left(x\right) =\left(...\right) x^3+\left(...\right) x^2+\left(...\right)x+ \left(...\right)

On regroupe les termes par puissance de x :

P\left(x\right) = ax^3+bx^2-ax^2-bx+cx -c

P\left(x\right) = \left(a\right)x^3+\left(b-a\right)x^2+\left(c-b\right)x+ \left(-c\right)

Etape 3

Rappeler l'écriture du polynôme

On rappelle la forme développée du polynôme P dont les coefficients sont connus.

On rappelle que, \forall x \in \mathbb{R}, P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5

Etape 4

Poser le système

On a deux formes de polynôme différentes. On identifie les coefficients des termes de même degré qui doivent être égaux.

On obtient alors un système à quatre équations (une pour chaque coefficient).

On a, pour tout réel x,

  • P\left(x\right)=ax^3+\left(b-a\right)x^2+\left(c-b\right)x -c
  • P\left(x\right)= 4x^3-2x^2 -7x +5

On identifie terme à terme les coefficients de même degré qui doivent être égaux.

On obtient le système suivant :

\begin{cases} a= 4\cr \cr b-a = -2 \cr \cr c-b =-7\cr \cr -c = 5\end{cases}

Etape 5

Résoudre le système

On résout le système et on détermine les valeurs de a, b et c..

On résout :

\begin{cases} a= 4\cr \cr b-a = -2 \cr \cr c-b =-7\cr \cr -c = 5\end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a= 4 \cr \cr b = -2+a \cr \cr c = -5\end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a= 4 \cr \cr b = 2 \cr \cr c = -5\end{cases}

Etape 6

Conclure

On donne l'écriture de la forme factorisée de P en remplaçant a, b et c par les valeurs trouvées.

P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)\left(ax^2+bx+c\right)

On en déduit l'écriture de la forme factorisée de P :

Pour tout réel x, P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(4x^2+2x-5\right)

Il est facile de vérifier le résultat obtenu en développant la forme factorisée de P et en comparant avec la forme développée.

On a trouvé :

P\left(x\right) = \left(x-1\right)\left(4x^2+2x-5\right)

On développe. Pour tout réel x :

P\left(x\right) = 4x^3+2x^2-5x-4x^2-2x+5

P\left(x\right) = 4x^3-2x^2-7x+5

C'est bien la forme développée de P\left(x\right), le résultat trouvé est donc correct.