On veut comparer \sqrt{a + b} et \sqrt{a} + \sqrt{b} , a, b \geq 0 .
Quelle est la forme développée de (a+b)^2 , a, b \in \mathbb{R} ?
On a :
(a+b)^2 = (a+b)(a+b)
(a+b)^2 = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b
Ainsi, (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 .
Comment s'écrit \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 ?
En développant l'expression :
\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 = \left( \sqrt{a} \right)^2 + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right)^2
On trouve :
\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b
Quel est le signe de \sqrt{a} \sqrt{b} , a, b \geq 0 ?
On a, pour tout x \in \mathbb{R}_+ , \sqrt{x} \geq 0 .
Donc, pour tous réels a et b positifs ou nuls :
\sqrt{a} \sqrt{b} \geq 0
Quelle expression est la plus grande entre \sqrt{a} + \sqrt{b} et \sqrt{a + b} , a, b \geq 0 ?
D'une part :
\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b
Or :
\sqrt{a} \sqrt{b} \geq 0
Donc :
\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^2 \geq a + b
En prenant la racine carrée des deux côtés, on a donc :
\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a + b}