Les composantes du vecteur position d'un système se déduisent de celles du vecteur vitesse par intégration.
On considère le mouvement d'un projectile lancé dans le champ de pesanteur terrestre à partir du point M_0 et avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0} conformément à la figure ci-dessous :
Dans cette situation, les composantes du vecteur vitesse du projectile sont :
\overrightarrow{v} \begin{cases} v_x = v_{0x} \cr \cr v_y =-g \times t \end{cases}
En déduire les composantes du vecteur position de ce projectile.
Connaître les différentes primitives
Les composantes du vecteur position étant les primitives de celles du vecteur vitesse, il faut connaître les expressions des primitives possibles.
- Si la composante de la vitesse est nulle, sa primitive est une constante K.
- Si la composante de la vitesse est une constante K_1, sa primitive est K_1 \times t + K_2.
-
Si la composante de la vitesse est du type K_1 \times t + K_2, sa primitive est K_1 \times \dfrac{t^2}{2} + K_2 \times t + K_3.
Les constantes K_1, K_2 et K_3 dépendent des conditions initiales du mouvement.
En déduire les expressions des composantes du vecteur position
On déduit les expressions des composantes du vecteur position en écrivant les primitives des composantes du vecteur vitesse.
Puisque les composantes du vecteur vitesse du projectiles sont :
\overrightarrow{v} \begin{cases} v_x = v_{0} \cr \cr v_y =-g \times t \end{cases}
Les expressions des composantes du vecteur position de ce projectile sont :
\overrightarrow{OM} \begin{cases} x = v_0 \times t + K_1\cr \cr y =-g \times \dfrac{t^2}{2} + K_2\end{cases}
Étant donné que les constantes K_1 et K_2 dépendent des composantes du vecteur position initiale, on peut les identifier, selon les axes du repère concerné :
\begin{cases} K_1=x_0 \cr \cr K_2=y_0\end{cases}
Identifier les constantes présentes dans les primitives
On identifie les constantes présentes dans les primitives en déterminant, à l'aide de l'énoncé ou d'une figure, les composantes du vecteur position initiale.
D'après la figure donnée, les composantes du vecteur position initiale du projectile sont les suivantes :
\overrightarrow{OM_0} \begin{cases} x_0 = 0\cr \cr y_0 =h\end{cases}
On a donc :
\begin{cases} K_1=x_0=0 \cr \cr K_2=y_0=h\end{cases}
Conclure en donnant les expressions des composantes du vecteur position
On conclut : en remplaçant les constantes des primitives par les composantes du vecteur position initiale, on obtient les expressions des composantes du vecteur position.
Puisque les composantes du vecteur position sont :
\overrightarrow{OM} \begin{cases} x = v_0 \times t + K_1\cr \cr y =-g \times \dfrac{t^2}{2} + K_2\end{cases}
Et les expressions des constantes sont :
\begin{cases} K_1=0 \cr \cr K_2=h\end{cases}
On obtient :
\overrightarrow{OM} \begin{cases} x = v_0 \times t \cr \cr y =-g \times \dfrac{t^2}{2} +h\end{cases}