Un parachutiste, de masse totale m = 80 kg, saute à partir d'un hélicoptère en vol stationnaire à une altitude de 2 500 m.
Dans son saut, on peut distinguer deux phases :
Durant la première phase de son saut, la vitesse passe de 0 à 190 km/h.
Puis, à l'ouverture du parachute, la vitesse décroît jusqu'à 15 km/h. La vitesse garde ensuite cette valeur jusqu'à l'atterrissage qui se fait sur un plateau situé à 200 m d'altitude.
Données :
- Accélération de la pesanteur : g = 9{,}81 \text{ m.s}^{-2}
- L'énergie potentielle de pesanteur est nulle à une altitude de 0 mètre.
Quelle est l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre lorsqu'il vient juste de quitter l'hélicoptère immobile par rapport à la Terre ?
On s'intéresse au système constitué du parachutiste de masse m dans le référentiel terrestre galiléen.
Lorsqu'il quitte l'hélicoptère à 2 500 m d'altitude (z_1) avec une vitesse nulle par rapport à la Terre (V_1), l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est :
E_{m1} = E_{C1} + E_{P1} = \dfrac{1}{2}\times m \times V_1^2 + m\times g \times z_1 = 0 + 80\times 9{,}81 \times \text{2 500}
Donc :
E_{m1} = 1{,}96 \times 10^6 \text{ J}
Quelle est l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage ?
On calcule l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre juste avant son atterrissage à l'altitude z_2 = 200 \text{ m}.
La parachutiste atterrit sur le plateau avec une vitesse V_2 = 15 \text{ km/h} = \dfrac{\text{15 000}}{\text{3 600}} \text{ m/s}= 4{,}2 \text{ m/s}.
L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre vaut alors :
E_{m2} = E_{C2} + E_{P2} = \dfrac{1}{2} \times m \times V_2^2 + m \times g \times z_2
E_{m2} = \dfrac{1}{2} \times 80 \times 4{,}2^2 + 80 \times 9{,}81 \times 200 = 1{,}58 \times 10^5 \text { J}
Donc :
E_{m2} = 1{,}58 \times 10^5 \text { J}
L'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre n'est pas restée constante, le parachutiste est soumis à des frottements de l'air.
Quel est le travail de la force de frottement de l'air sur le parachutiste tout au long de la chute ?
La variation de l'énergie mécanique du parachutiste dans le champ de pesanteur terrestre est égale au travail de la force de frottement d'après le théorème de l'énergie mécanique.
On note \overrightarrow{f} cette force de frottement.
On a :
W_{12}(\overrightarrow{f}) = E_m(2) - E_m(1) = 1{,}58 \times 10^5 - 1{,}96 \times 10^6
Donc :
W_{12}(\overrightarrow{f}) = - 1{,}80 \times 10^6 \text{ J}
De quelle hauteur devrait se faire une chute libre sans vitesse initiale pour que la vitesse à l'arrivée sur le sol soit également de 15 km/h ?
On considère un solide de masse m_s qui quitte un point A d'altitude z_A avec une vitesse nulle et qui touche le sol au point B d'altitude nulle avec une vitesse V_B = 15 \text{ km/h} = 4{,}2 \text{ m/s}.
Le solide est en chute libre, donc il n'est soumis à aucun frottement. Par conséquent, son énergie mécanique se conserve. On peut donc écrire :
E_m(A) = E_m (B)
Soit :
\dfrac{1}{2} \times m_s \times v_A^2 + m_s\times g \times z_A = \dfrac{1}{2} \times m_s \times v_B^2 + m_s\times g \times z_B
D'où :
0 + m_s\times g \times z_A = \dfrac{1}{2} \times m_s \times v_B^2 +0
On en déduit z_A :
z_A = \dfrac{v_B^2}{2\times g}
D'où :
z_A = 0{,}89 \text{ m} = 89 \text{ cm}
Donc :
z_A = 89 \text{ cm}