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Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre

Lorsqu'un point B est l'image d'un point A par la symétrie de centre I, on peut déterminer les coordonnées de B à partir des coordonnées des deux autres points.

On considère les points \(\displaystyle{A\left(4;5\right)}\) et \(\displaystyle{I\left(-1;2\right)}\). Déterminer les coordonnées de B, image de A par la symétrie de centre I.

Etape 1

Identifier un point comme le milieu des deux autres

On explique que, comme B est l'image de A par la symétrie de centre I, alors I est le milieu du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\).

B est l'image de A par la symétrie de centre I. Ainsi, I est le milieu du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\).

Etape 2

Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points

On rappelle que, si I est le milieu de \(\displaystyle{\left[ AB\right]}\), alors :

  • \(\displaystyle{x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}}\)
  • \(\displaystyle{y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}}\)

Comme I est le milieu de \(\displaystyle{\left[ AB\right]}\), on sait que ses coordonnées vérifient :

  • \(\displaystyle{x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}}\)
  • \(\displaystyle{y_I = \dfrac{y_A +y_B}{2}}\)
Etape 3

En déduire l'expression des coordonnées du symétrique

On déduit l'expression des coordonnées du symétrique en les isolant dans les relations précédentes. On obtient :

  • \(\displaystyle{x_B = 2x_I -x_A}\)
  • \(\displaystyle{y_B = 2y_I -y_A}\)

On sait que :

\(\displaystyle{x_I = \dfrac{x_A +x_B}{2}}\)

Donc :

\(\displaystyle{2x_I = x_A + x_B}\)

D'où :

\(\displaystyle{x_B = 2x_I -x_A}\)

De même :

\(\displaystyle{y_B = 2y_I -y_A}\)

Etape 4

Rappeler les coordonnées des points connus

On rappelle les coordonnées des points A et I.

Or, on sait que \(\displaystyle{A\left(4;5\right)}\) et \(\displaystyle{I\left(-1;2\right)}\).

Etape 5

Conclure

On effectue le calcul de \(\displaystyle{x_B}\) et de \(\displaystyle{y_B}\), puis on conclut en donnant les coordonnées de B.

On en déduit que :

  • \(\displaystyle{x_B =2\times \left(-1\right)-4 = -2-4 = -6}\)
  • \(\displaystyle{y_B = 2 \times 2 -5 = 4-5 = -1}\)

Par conséquent, le point B a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(-6;-1\right)}\).

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