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Déterminer si deux droites sont parallèles

On peut déterminer si deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles lorsque l'on connaît leurs coefficients directeurs.

Soient les droites \(\displaystyle{d_1 : y = -3x+7}\) et \(\displaystyle{d_2 : y = -3x-3}\).

\(\displaystyle{d_1}\) et \(\displaystyle{d_2}\) sont-elles parallèles ?

Etape 1

Rappeler le cours

On rappelle que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

  • Si les deux droites sont parallèles à l'axe des ordonnées, alors elles sont parallèles.
  • Si l'une des droites est parallèle à l'axe des ordonnées et pas l'autre, alors elles sont sécantes.

Les droites parallèles à l'axe des ordonnées sont les droites qui admettent une équation du type \(\displaystyle{x=k}\), où k est un réel quelconque.

D'après le cours, on sait que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Etape 2

Rappeler le coefficient directeur de chaque droite

On donne le coefficient directeur de chaque droite. Pour rappel, le coefficient directeur d'une droite d'équation \(\displaystyle{y=ax+b}\) est a.

D'après l'énoncé, \(\displaystyle{\left(d_1\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d_2\right)}\) ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées et :

  • Le coefficient directeur de la droite \(\displaystyle{\left(d_1\right)}\) est −3.
  • Le coefficient directeur de la droite \(\displaystyle{\left(d_2\right)}\) est −3.
Etape 3

Conclure

  • Si les deux coefficients directeurs sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.
  • Sinon, les deux droites sont sécantes.

Les deux coefficients directeurs sont égaux. On en déduit que les droites \(\displaystyle{\left(d_1\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d_2\right)}\) sont parallèles.

Puisque \(\displaystyle{\left(d_1\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d_2\right)}\) n'ont pas la même ordonnée à l'origine, elles ne sont pas confondues. On dit qu'elles sont strictement parallèles.

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