Soit ABC un triangle quelconque.
On appelle M, N et P les pieds des hauteurs de ABC issues respectivement des sommets A, B et C. Soit H l'orthocentre de ABC.
On appelle enfin I, J et K les milieux respectifs des segments \left[AB\right], \left[BC\right], \left[AH\right].
Pourquoi le point M appartient-il au cercle C de diamètre \left[JK\right] ?
Le point M étant le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet A, on en déduit que les droites \left(AM\right) et \left(BC\right) sont perpendiculaires. Le point J appartenant à \left(BC\right), on en conclut que \left(AM\right) et \left(JM\right) sont perpendiculaires.
On en déduit que le triangle JKM est rectangle en M.
Or, l'hypoténuse d'un triangle rectangle est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle rectangle.
Le cercle C ayant pour diamètre \left[JK\right], qui est l'hypoténuse du triangle JKM, on en conclut que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle JKM.
Les trois sommets du triangle JKM appartiennent donc au cercle C.
Le point M appartient au cercle C.
Pourquoi le point I appartient-il également à C ?
Pour démontrer que le point I appartient également au cercle C, il suffit de montrer, comme précédemment, que le triangle JKI est rectangle en I.
On va donc montrer que les droites \left(IJ\right) et \left(IK\right) sont perpendiculaires.
Montrons que \left(IJ\right) et \left(BN\right) sont perpendiculaires.
Dans le triangle ABC, \left(IJ\right) est la droite des milieux des côtés \left[AB\right] et \left[BC\right]. Donc \left(IJ\right) est parallèle à \left(AC\right).
De plus, \left(BN\right) étant la hauteur du triangle ABC issue du sommet B, on a : \left(BN\right) perpendiculaire à \left(AC\right).
Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
La droite \left(BN\right) est donc également perpendiculaire à \left(IJ\right).
Montrons que \left(IK\right) et \left(BN\right) sont parallèles.
H étant l'orthocentre du triangle ABC, il est donc le point de concours des trois hauteurs \left(AM\right), \left(BN\right) et \left(CP\right) de ce triangle et appartient donc à ces trois hauteurs.
Dans le triangle AHB, \left(IK\right) est la droite des milieux des côtés \left[AB\right] et \left[AH\right]. Donc \left(IK\right) est parallèle à \left(BH\right).
\left(IK\right) est donc parallèle à \left(BN\right), les points B, H et N étant alignés.
Finalement, on a :
- \left(IJ\right) perpendiculaire à \left(BN\right).
- \left(IK\right) parallèle à \left(BN\right).
On en conclut que les droites \left(IJ\right) et \left(IK\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle JKI est rectangle en I.
Le point I appartient également au cercle C.
Soit L le milieu de \left[AC\right]. L appartient-il au cercle C ?
Pour vérifier que L appartient au cercle C, on peut montrer que les droites \left(LK\right) et \left(LJ\right) sont perpendiculaires.
De la même manière qu'à la question précédente, on montre que :
- \left(LJ\right) perpendiculaire à \left(PC\right).
- \left(LK\right) parallèle à \left(PC\right).
On en conclut que les droites \left(LJ\right) et \left(LK\right) sont perpendiculaires, et donc que le triangle JKL est rectangle en L.
Le point L appartient donc également au cercle C.