Montrer que deux droites sont parallèles en utilisant les coordonnées Exercice

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(IC\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{IC} sont colinéaires.

Sachant que I\left( 1;0 \right), les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6-2 \cr\cr -1-\left(-3\right)\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 2\end{pmatrix}
• \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{I} \cr\cr y_{C}-y_{I} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 7-1 \cr\cr 3-0\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 3\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{IC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}

Donc : \overrightarrow{IC}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{IC} sont donc colinéaires.

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5-1 \cr\cr 3-\left(-1\right)\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 4\end{pmatrix}
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -1-6 \cr\cr 5-2\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -7 \cr\cr 3\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-7}{4}\neq\dfrac{3}{4}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ne sont donc pas colinéaires.

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \cr\cr -1-\left(-5\right)\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 4\end{pmatrix}
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -9-0 \cr\cr -4-8\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -9 \cr\cr -12\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-9}{3}=\dfrac{-12}{4}.

Donc : \overrightarrow{CD}=-3\overrightarrow{AB}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont donc colinéaires.

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 10-4 \cr\cr -3-\left(-6\right)\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 3\end{pmatrix}
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -1-2 \cr\cr 11-2 \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 9\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-3}{6}\neq\dfrac{9}{3}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ne sont donc pas colinéaires.

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(CI\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CI} sont colinéaires.

Sachant que I\left( 0;1 \right), les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0-3 \cr\cr -2-\left(-7\right)\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 5\end{pmatrix}
• \overrightarrow{CI}\begin{pmatrix} x_{I}-x_{C} \cr\cr y_{I}-y_{C} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CI}\begin{pmatrix} 1-7 \cr\cr 0-\left(-10\right) \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CI}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 10\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CI} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-6}{-3}=\dfrac{10}{5}.

Donc : \overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{AB}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CI} sont donc colinéaires.

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4-14 \cr\cr 3-1\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -18 \cr\cr 2\end{pmatrix}
• \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_{D}-x_{C} \cr\cr y_{D}-y_{C} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -7-2 \cr\cr 19-18 \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -9 \cr\cr 1\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{CD} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{-9}{-18}=\dfrac{1}{2}.

Donc : \overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont donc colinéaires.

Pour savoir si les droites \left(AB\right) et \left(IC\right) sont parallèles, on détermine si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{IC} sont colinéaires.

Sachant que I\left( 1;0 \right), les coordonnées de ces vecteurs sont :

• \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_{B}-x_{A} \cr\cr y_{B}-y_{A} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -7-\left(-5\right) \cr\cr 4-\left(-1\right)\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5\end{pmatrix}
• \overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} x_{C}-x_{I} \cr\cr y_{C}-y_{I} \end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 3-1 \cr\cr 8-0\end{pmatrix}\Rightarrow\overrightarrow{IC}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 8\end{pmatrix}

En calculant le rapport des coordonnées de \overrightarrow{IC} sur celles de \overrightarrow{AB}, on remarque : \dfrac{2}{-2}\neq\dfrac{8}{5}

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{IC} ne sont donc pas colinéaires.