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Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé

Lorsque l'on connaît les coordonnées de deux points dans un repère orthonormé, on peut calculer la distance les séparant.

On considère dans un repère orthonormé les points \(\displaystyle{A\left(-5;3\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(8;1\right)}\). Calculer la distance AB.

Etape 1

Réciter la formule

On rappelle que la distance dans un repère orthonormé entre deux points \(\displaystyle{A\left(x_A ;y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B ;y_B\right)}\) vaut :

\(\displaystyle{AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}}\)

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points \(\displaystyle{A\left(x_A ;y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B ;y_B\right)}\) vaut :

\(\displaystyle{AB = \sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2 + \left(y_B-y_A\right)^2}}\)

Etape 2

Rappeler les coordonnées des deux points

On rappelle les coordonnées des deux points A et B.

Ici, on a \(\displaystyle{A\left(-5;3\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(8;1\right)}\).

Etape 3

Appliquer la formule

On effectue le calcul et on conclut sur la distance \(\displaystyle{AB}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{AB = \sqrt{\left(8-\left(-5\right)\right)^2 + \left(1-3\right)^2}}\)

\(\displaystyle{AB = \sqrt{13^2 + \left(-2\right)^2}}\)

\(\displaystyle{AB = \sqrt{169+4}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{AB = \sqrt{173}}\)

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