Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016

Déterminer les coordonnées du symétrique d'un point par rapport à un autre

Lorsqu'un point B est l'image d'un point A par la symétrie de centre I, on peut déterminer les coordonnées de B à partir des coordonnées des deux autres points.

On considère les points A(4;5) et I(1;2). Déterminer les coordonnées de B, image de A par la symétrie de centre I.

Etape 1

Identifier un point comme le milieu des deux autres

On explique que, comme B est l'image de A par la symétrie de centre I, alors I est le milieu du segment [AB].

B est l'image de A par la symétrie de centre I. Ainsi, I est le milieu du segment [AB].

Etape 2

Rappeler la formule des coordonnées du milieu de deux points

On rappelle que, si I est le milieu de [AB], alors :

  • xI=xA+xB2
  • yI=yA+yB2

Comme I est le milieu de [AB], on sait que ses coordonnées vérifient :

  • xI=xA+xB2
  • yI=yA+yB2
Etape 3

En déduire l'expression des coordonnées du symétrique

On déduit l'expression des coordonnées du symétrique en les isolant dans les relations précédentes. On obtient :

  • xB=2xIxA
  • yB=2yIyA

On sait que :

xI=xA+xB2

Donc :

2xI=xA+xB

D'où :

xB=2xIxA

De même :

yB=2yIyA

Etape 4

Rappeler les coordonnées des points connus

On rappelle les coordonnées des points A et I.

Or, on sait que A(4;5) et I(1;2).

Etape 5

Conclure

On effectue le calcul de xB et de yB, puis on conclut en donnant les coordonnées de B.

On en déduit que :

  • xB=2×(1)4=24=6
  • yB=2×25=45=1

Par conséquent, le point B a pour coordonnées (6;1).

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