Seconde 2015-2016
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Seconde 2015-2016

Reconnaître un point remarquable du triangle

Pour un triangle donné, il existe quatre points remarquables : l'orthocentre, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit au triangle et le centre du cercle inscrit dans le triangle.

On considère la figure suivante :

-

Que représente le point D par rapport au triangle ABC ?

Etape 1

Déterminer la nature des droites dont le point est l'intersection

On détermine la nature des droites dont le point est l'intersection.

On différencie quatre cas :

  • Chacune des droites est issue d'un sommet et coupe perpendiculairement le côté opposé : ce sont des hauteurs.
  • Chacune des droites est issue d'un sommet et coupe le côté opposé en son milieu : ce sont des médianes.
  • Chacune des droites coupe perpendiculairement en son milieu un côté : ce sont des médiatrices.
  • Chacune de ces droites partage un angle du triangle en deux angles de même mesure : ce sont des bissectrices.

On remarque que le point D est l'intersection de trois droites. Or, chacune de ces droites passe par un sommet du triangle ABC et coupe perpendiculairement le côté opposé à ce sommet.

On en déduit que le point D est le point d'intersection des hauteurs du triangle ABC.

Etape 2

Conclure

On conclut en donnant la nature du point recherché.

On distingue toujours quatre cas :

  • L'intersection des hauteurs est l'orthocentre du triangle.
  • L'intersection des médianes est le centre de gravité du triangle.
  • L'intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.
  • L'intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

On en conclut que H est l'orthocentre du triangle ABC.

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