Retrouver l'expression d'une fonction Problème

Par lecture graphique, on trouve :

• f\left(1\right)=4
• f\left(3\right)=-2

f'\left(1\right) est le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 1.

Les points A\left(1;4\right) et C\left(-1;2\right) appartiennent à cette tangente. Son coefficient directeur est donc :

a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{2-4}{-1-1}=\dfrac{-2}{-2}=1

Pour déterminer une expression de f\left(x\right), il faut trouver les valeurs de a, b et c.

On a besoin de la valeur de f'\left(1\right).

Comme f est une fonction polynôme, elle est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout x\in\mathbb{R}, on a :

f'\left(x\right)=2ax+b

D'après les questions précédentes, on a :

\begin{cases} f\left(1\right)=4 \cr \cr f\left(3\right)=-2 \cr \cr f'\left(1\right)=1 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a\times1^2+b\times1+c=4 \cr \cr a\times3^2+b\times3+c=-2 \cr \cr 2a\times1+b=1 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=4 \cr \cr 9a+3b+c=-2 \cr \cr 2a+b=1 \end{cases}

On soustrait la première ligne à la deuxième pour éliminer l'inconnue c :

\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=4 \cr \cr 8a+2b=-6 \cr \cr 2a+b=1 \end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=4 \cr \cr 4a+b=-3 \cr \cr 2a+b=1 \end{cases}

On soustrait la deuxième ligne à la troisième pour éliminer l'inconnue b :

\Leftrightarrow\begin{cases} a+b+c=4 \cr \cr 4a+b=-3 \cr \cr -2a=4 \end{cases}

On en déduit que a=-2

\Leftrightarrow\begin{cases} -2+b+c=4 \cr \cr -8+b=-3 \cr \cr a=-2 \end{cases}

On en déduit que b=5

\Leftrightarrow\begin{cases} -2+5+c=4 \cr \cr b=5 \cr \cr a=-2 \end{cases}

On en déduit que c=1

\Leftrightarrow\begin{cases} c=1 \cr \cr b=5 \cr \cr a=-2 \end{cases}