Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

La dérivation

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient :

f(a+h)f(a)h

En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

f(x)f(a)xa

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f(a) :

limh0f(a+h)f(a)h=limxaf(x)f(a)xa=f(a)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2+1.

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

(x2+1)(12+1)x1=x21x1=(x+1)(x1)x1=x+1

Or :

limx1(x+1)=2

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f(1)=2.

"Une limite finie l quand h tend vers 0" signifie "devient aussi proche que l'on veut d'un réel l lorsque h est suffisamment proche de 0".

B

La tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point

Tangente

Soit un réel a de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées (a;f(a)), de coefficient directeur f(a), dont une équation est :

y=f(a)(xa)+f(a)

-

Sachant que la fonction f définie par f(x)=x2+1, est dérivable en 1, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

y=f(1)(x1)+f(1)

Or, on sait que :

  • f(1)=2
  • f(1)=12+1=2

Une équation de la tangente cherchée est donc :

y=2(x1)+2

y=2x2+2

y=2x

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f qui, à tout réel x de I, associe f(x).

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f est également dérivable sur I, la dérivée de f sur I, notée f, est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel λ et un entier naturel n ; on désigne par Df le domaine de définition de f et par Df son domaine de dérivabilité.

f(x)f(x)DfDf
λ0
x1
xn (n1)nxn1
1xn (n1)nxn+1
x12x++
C

Les opérations sur les dérivées

Soient λ un réel, u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

ff
λuλu
u+vu+v
uvuv+uv
1v
(si v ne s'annule pas sur I )
vv2
uv
(si v ne s'annule pas sur I )
uvuvv2

Les fonctions polynômes sont dérivables sur .

Si f est une fonction polynôme d'expression f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0, alors sa dérivée, f, admet pour expression :

f(x)=nanxn1+(n1)an1xn2++a1

On considère la fonction f définie sur par f(x)=6x43x2+5x2.

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur et sa dérivée f a pour expression :

f(x)=6×4x33×2x+5×1+0

f(x)=24x36x+5

On considère la fonction f définie sur I=]1;+[ par f(x)=x+2x1.

La fonction f est de la forme uv avec u(x)=x+2 et v(x)=x1.

Comme restrictions de fonctions affines à l'intervalle I, les fonctions u et v sont dérivables sur I, et pour tout réel xI,u(x)=1 et v(x)=1.

De plus, la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I.

Par quotient, la fonction f est dérivable sur l'intervalle I, et f=uvuvv2.

Ainsi, pour tout réel xI, on a :

f(x)=1×(x1)(x+2)×1(x1)2

f(x)=x1x2(x1)2

f(x)=3(x1)2

III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Signe de la dérivée et variations de la fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Considérons la f fonction définie sur par f(x)=5x26x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur par f(x)=10x6.

La dérivée s'annule pour x=35.

Pour tout x];35], 10x60 donc f est décroissante sur ];35].

Pour tout x[35;+[, 10x60 donc f est croissante sur [35;+[.

Signe de la dérivée et stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.

Considérons la fonction f définie sur par f(x)=5x26x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur par f(x)=10x6.

La dérivée s'annule pour x=35.

Pour tout x];35[, 10x6<0 donc f est strictement décroissante sur ];35].

Pour tout x]35;+[, 10x6>0 donc f est strictement croissante sur [35;+[.

B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f(a)=0 et f change de signe en a.
  • Réciproquement, si f s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f.

Si f s'annule en a et passe d'un signe négatif avant a à un signe positif après a, l'extremum local est un minimum local.

Si f s'annule en a et passe d'un signe positif avant a à un signe négatif après a, l'extremum local est un maximum local.

Considérons la fonction f définie sur par f(x)=5x26x+1. Sa fonction dérivée est f' définie sur par f(x)=10x6.

La dérivée s'annule pour x=35.

Pour tout x];35], 10x60, pour tout x[35;+[, 10x60. Donc la dérivée s'annule et change de signe en x=35. La fonction f admet, par conséquent, un extremum local en 35.

Comme la dérivée de f passe d'un signe négatif à un signe positif en x=35, cet extremum est un minimum local.

f peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

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