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ou

La dérivation

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et \(\displaystyle{a + h}\) le quotient :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}\)

En posant \(\displaystyle{x = a + h}\), le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}}\)

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) :

\(\displaystyle{\lim_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)}\)

On considère la fonction \(\displaystyle{f}\) définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2 + 1}\).

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1}\)

Or :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1} \left(x+1\right) = 2}\)

On en déduit que la fonction \(\displaystyle{f}\) est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 2}\).

"Une limite finie l quand h tend vers 0" signifie "devient aussi proche que l'on veut d'un réel l lorsque h est suffisamment proche de 0".

B

La tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point

Tangente

Soit un réel a de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \(\displaystyle{\left(a ; f\left(a\right)\right)}\), de coefficient directeur \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\), dont une équation est :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)}\)

-

Sachant que la fonction \(\displaystyle{g}\) définie par \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^2+1}\), est dérivable en 1, on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

\(\displaystyle{y = g'\left(1\right)\left(x-1\right) + g\left(1\right)}\)

Or, on sait que :

  • \(\displaystyle{g'\left(1\right) = 2}\)
  • \(\displaystyle{g\left(1\right)=1^2+1=2}\)

Une équation de la tangente cherchée est donc :

\(\displaystyle{y = 2\left(x-1\right) + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x - 2 + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x}\)

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée \(\displaystyle{f'}\) qui, à tout réel x de I, associe \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\).

Dérivée seconde

Soit une fonction \(\displaystyle{f}\) dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).
Si \(\displaystyle{f'}\) est également dérivable sur \(\displaystyle{I}\), la dérivée de \(\displaystyle{f'}\) sur I, notée \(\displaystyle{f''}\), est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel \(\displaystyle{n}\) ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de \(\displaystyle{f}\) et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) 0 \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x}\) 1 \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) (\(\displaystyle{n \geq 1}\)) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}}\) (\(\displaystyle{n \geq 1}\)) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)
C

Les opérations sur les dérivées

Soient \(\displaystyle{\lambda}\) un réel, \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{v}}\)
(si \(\displaystyle{v}\) ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) )
\(\displaystyle{-\dfrac{v'}{v^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\)
(si \(\displaystyle{v}\) ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) )
\(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv'}{v^2}}\)

Les fonctions polynômes sont dérivables sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction polynôme d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0}\), alors sa dérivée, \(\displaystyle{f'}\), admet pour expression :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=na_nx^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+\dots+a_1}\)

On considère la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=6x^4-3x^2+5x-2}\).

Comme fonction polynôme, \(\displaystyle{f}\) est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et sa dérivée \(\displaystyle{f'}\) a pour expression :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=6\times 4x^3-3\times 2x+5\times 1+0}\)

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=24x^3-6x+5}\)

On considère la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{I=\left]1;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x-1}}\).

La fonction \(\displaystyle{f}\) est de la forme \(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) avec \(\displaystyle{u\left(x\right)=x+2}\) et \(\displaystyle{v\left(x\right)=x-1}\).

Comme restrictions de fonctions affines à l'intervalle \(\displaystyle{I}\), les fonctions \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) sont dérivables sur \(\displaystyle{I}\), et pour tout réel \(\displaystyle{x\in I, u'\left(x\right)=1}\) et \(\displaystyle{v'\left(x\right)=1}\).

De plus, la fonction \(\displaystyle{v}\) ne s'annule pas sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

Par quotient, la fonction \(\displaystyle{f}\) est dérivable sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), et \(\displaystyle{f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}}\).

Ainsi, pour tout réel \(\displaystyle{x\in I}\), on a :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{1\times \left(x-1\right)-\left(x+2\right)\times 1}{\left(x-1\right)^2}}\)

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{x-1-x-2}{\left(x-1\right)^2}}\)

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}}\)

III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Signe de la dérivée et variations de la fonction

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) :

  • Si \(\displaystyle{f'}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est croissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est nulle sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est constante sur \(\displaystyle{I}\).

Considérons la f fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2-6x+1}\). Sa fonction dérivée est f' définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f'\left(x\right)=10x-6}\).

La dérivée s'annule pour \(\displaystyle{x=\dfrac35}\).

Pour tout \(\displaystyle{x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right]}\), \(\displaystyle{10x-6\leq0}\) donc f est décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty;\dfrac35 \right]}\).

Pour tout \(\displaystyle{x\in\left[\dfrac35 ;+\infty\right[}\), \(\displaystyle{10x-6\geq0}\) donc f est croissante sur \(\displaystyle{\left[\dfrac35 ;+\infty\right[}\).

Signe de la dérivée et stricte monotonie

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) :

  • Si \(\displaystyle{f'}\) est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{I}\).

Considérons la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2-6x+1}\). Sa fonction dérivée est f' définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f'\left(x\right)=10x-6}\).

La dérivée s'annule pour \(\displaystyle{x=\dfrac35}\).

Pour tout \(\displaystyle{x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right[}\), \(\displaystyle{10x-6\lt0}\) donc f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty;\dfrac35 \right]}\).

Pour tout \(\displaystyle{x\in\left]\dfrac35 ;+\infty\right[}\), \(\displaystyle{10x-6\gt0}\) donc f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[\dfrac35 ;+\infty\right[}\).

B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable sur un intervalle ouvert \(\displaystyle{I}\) :

  • Si \(\displaystyle{f}\) admet un extremum local en un réel \(\displaystyle{a}\) de \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f'\left(a\right) = 0}\) et \(\displaystyle{f^{'}}\) change de signe en a.
  • Réciproquement, si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en changeant de signe en \(\displaystyle{a}\), alors \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) est un extremum local de \(\displaystyle{f}\).

Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en a et passe d'un signe négatif avant a à un signe positif après a, l'extremum local est un minimum local.

Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en a et passe d'un signe positif avant a à un signe négatif après a, l'extremum local est un maximum local.

Considérons la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=5x^2-6x+1}\). Sa fonction dérivée est f' définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f'\left(x\right)=10x-6}\).

La dérivée s'annule pour \(\displaystyle{x=\dfrac35}\).

Pour tout \(\displaystyle{x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right]}\), \(\displaystyle{10x-6\leq0}\), pour tout \(\displaystyle{x\in\left[\dfrac35 ;+\infty\right[}\), \(\displaystyle{10x-6\geq0}\). Donc la dérivée s'annule et change de signe en \(\displaystyle{x=\dfrac35}\). La fonction f admet, par conséquent, un extremum local en \(\displaystyle{\dfrac35}\).

Comme la dérivée de f passe d'un signe négatif à un signe positif en \(\displaystyle{x=\dfrac35}\), cet extremum est un minimum local.

\(\displaystyle{f'}\) peut s'annuler en un réel \(\displaystyle{a}\) (en ne changeant pas de signe) sans que \(\displaystyle{f}\) admette un extremum local en \(\displaystyle{a}\). C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si \(\displaystyle{f}\) admet un extremum local en \(\displaystyle{a}\), alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse \(\displaystyle{a}\).

-

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