Première S 2015-2016

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La dérivation

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel \(\displaystyle{n}\) ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de \(\displaystyle{f}\) et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) 0 \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x}\) 1 \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) (\(\displaystyle{n \geq 1}\)) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}}\) (\(\displaystyle{n \geq 1}\)) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)

Les opérations sur les dérivées

Soit un réel \(\displaystyle{\lambda}\) ; on désigne par \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{u}}\) (si \(\displaystyle{u}\) ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{-\dfrac{u’}{u^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) (si \(\displaystyle{v}\) ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv’}{v^2}}\)
Chapitre 4 La dérivation
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La dérivation