Calcul littéral Cours

Sommaire

IFractionsAFractions égalesBAddition et soustractionCMultiplicationDDivisionESigne « - »IIPuissancesADéfinitionsBPropriétésIIIIdentités remarquablesIVRacines carréesADéfinitionsBDifférence entre \sqrt{a^2}\text{ et }\left(\sqrt a\right)^2CPropriétés de calcul
I

Fractions

On rappelle les règles de calcul suivantes pour les fractions (programme de troisième).

A

Fractions égales

Une fraction ne change pas de valeur si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

Autrement dit :

Soit a, b, et c des nombres réels, avec b et c non nul.

 \dfrac {a} b=\dfrac{a \times c}{b \times c}

\dfrac 2 5=\dfrac{2\times 3}{5\times 3}=\dfrac 6{15}

Il faut bien multiplier par le même nombre en haut et en bas pour que l'égalité soit vraie.

B

Addition et soustraction

Soit a, b, et c des nombres réels, avec c non nul.

 \dfrac a c+\dfrac b c=\dfrac{a+b} c et \dfrac a c-\dfrac b c=\dfrac{a-b} c 

  • \dfrac 2 4+\dfrac 3 4=\dfrac{2+3} 4=\dfrac 5 4
  • \dfrac 2 4-\dfrac 3 4=\dfrac{2−3} 4=\dfrac{(−1)} 4

Pour pouvoir additionner ou soustraire deux fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur.

Dans un calcul comportant des quotients, le trait de fraction tient lieu de parenthèses. Ce qui signifie notamment que le signe présent devant un quotient se répercute sur l'ensemble des nombres du numérateur.

\dfrac{51}{11}-\dfrac{21 − 142}{11}=\dfrac{51 − \left(21 − 142\right)}{11}=\dfrac{51 {\textcolor{Red}-} 21 {\textcolor{Red}+} 142}{11}

C

Multiplication

Soit a, b, c et d des nombres réels, avec c et d non nuls.

\dfrac a c \times \dfrac b d=\dfrac{a \times b}{c \times d}

\dfrac 5 2\times \dfrac 3 7=\dfrac{5\times 3}{2\times 7} 

On en déduit la propriété suivante :

Soit a, b, et d des nombres réels avec d non nuls.


a\times \dfrac b d=\dfrac{a\times b} d=\dfrac a d\times b

 5\times \dfrac 3 7=\dfrac{5\times 3} 7=\dfrac 5 7\times 3 

Cette propriété s'obtient à l'aide de la propriété précédente.

En effet :  a \times \dfrac b d=\dfrac a 1\times \dfrac b d=\dfrac{a\times b}{1\times d}=\dfrac{a\times b} d=\dfrac a d\times \dfrac b 1=\dfrac a d\times b 

Pour multiplier deux fractions, il n'est pas nécessaire de les mettre au même dénominateur.

D

Division

Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse. Ainsi :

Soit a, b, c et d des nombres réels avec b, c et d non nuls :

\dfrac{\dfrac a d}{\dfrac b c}=\dfrac a d\times \dfrac c b

\dfrac{\dfrac {5} {2}}{\dfrac {3} {7}}=\dfrac {5} {2} \times \dfrac {7} {3}

De même :

Soit a, b, c et d des nombres réels avec b et d non nuls :

 \dfrac{\dfrac a d} b=\dfrac a d\times \dfrac 1 b

\dfrac{\dfrac 5 2} 3=\dfrac 5 2\times \dfrac 1 3

E

Signe « - »

Soit a, b des nombres réels avec b non nul :

-\dfrac a b=\dfrac{-a} b=\dfrac a{-b}

Autrement dit, lorsqu'il y a un signe moins dans une fraction, il peut être placé indifféremment devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur.

Cette propriété se déduit des précédentes car :

-\dfrac a b=(−1)\times \dfrac a b=\dfrac{(−1)\times a} b=\dfrac{-a} b=\dfrac{(-a)\times (−1)}{b\times (−1)}=\dfrac a{-b} 

-\dfrac{1}{4}=\dfrac{−1}{4}=\dfrac{1}{−4}

II

Puissances

A

Définitions

Puissance

Soit n un entier positif non nul supérieur ou égal à 2.
On appelle «  a puissance n », ou «  a exposant n », le nombre noté a^{n}   tel que :

a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}

L'entier n est appelé l'exposant.

2^5=2×2×2×2×2=32

Pour tout nombre réel a, on a :

  • Par convention,  a^0 = 1
  • a^1=a
  • 13^0=1
  • 150^1=150
B

Propriétés

Soit a et b sont deux nombres réels non nuls, et n et p deux entiers relatifs.

On a les propriétés de calcul suivantes :

 a^{-n}=\dfrac 1{a^n}  (a^n)^p=a^{n \times p}

 a^n\times a^p=a^{n+p}  

\dfrac {a^n}{a^p}=a^{n-p}

(\mathit{ab})^p=(a\times b)^p=a^p\times b^p 

\left( \dfrac{a}{b} \right)^{p} =\dfrac{a^p}{b^p}

4^{−1}=\dfrac 1{4^1}=\dfrac 1 4

5^{−2}=\dfrac 1{5^2}

3^2=\dfrac 1{3^{−2}}

  (3^6)^2=3^{12}

(3^6)^{(−2)}=3^{−12}

3^6\times 3^2=3^{6+2}=3^8

 3^6\times 3^{−2}=3^{6−2}=3^4

\dfrac {2^5}{2^3}=2^{5−3}=2^2

 \dfrac {2^5}{2^{(−3)}}=2^{5-(−3)}=2^{5+3}=2^8

 (2\times 3)^4=2^4\times 3^4

  \left( \dfrac{4}{5} \right)^2=\dfrac{4^2}{5^2}=\dfrac{16}{25}

Les propriétés valables pour la multiplication et la division ne fonctionnent pas avec l'addition et la soustraction !

Autrement dit, si a et b sont deux nombres réels non nuls, et n et p deux entiers relatifs :

(a+b)^p\neq a^p+b^p  et (a-b)^p\neq a^p-b^p

III

Identités remarquables

On vient de voir que :

 (a+b)^2\neq a^2+b^2 et (a-b)^2\neq a^2-b^2 

Les identités remarquables suivantes permettent de développer facilement le carré d'une somme ou d'une différence.

Soit a et b deux nombres réels :

(a+b)^2=a^2+2\mathit{ab}+b^2

(a-b)^2=a^2−2ab+b^2

De la même façon, en développant on obtient :

Soit a et b deux nombres réels :

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

On obtient ces relations facilement en développant le membre de gauche.

Néanmoins, il est important de les retenir par cœur, pour pouvoir reconnaître la partie de droite et factoriser.

On cherche à factoriser 9 + 18x + x^2.

On reconnaît la forme a^2+2\mathit{ab}+b^2 avec a=3 et b=x,

car 9+18x+x^2=3^2+2\times 3\times x+x^2.

Donc 9+18x + x^2 = \left(3+x\right)^2.

Dans le cas où a et b sont positifs, on peut démontrer ces identités remarquables en utilisant la géométrie.

Par exemple pour (a+b)^2=a^2+2\mathit{ab}+b^2, on peut faire la construction suivante :

-

On dessine un carré de côté a+b.

Ce carré est constitué de deux carrés d'aires respectives a^2 et b^2 , et de deux rectangles d'aire \mathit{ab}.

L'aire totale est donc la somme a^2+b^2+\mathit{ab}+\mathit{ab}=a^2+b^2+2\mathit{ab}.

De plus, l'aire totale peut aussi être obtenue directement en calculant (a+b)(a+b)=(a+b)^2.

En conclusion, (a+b)^2=a^2+b^2+2\mathit{ab}.

On peut démontrer les autres identités remarquables de manière analogue.

IV

Racines carrées

A

Définitions

Racine carrée

Soit a un nombre réel positif.

On désigne par \sqrt a la racine carrée de a, qui est égale au nombre positif dont le carré est a :

\left(\sqrt a\right)^2=a

Il existe deux nombres réels différents dont le carré est égal à 4.

En effet : (−2)^2 = 2^2 = 4

De ces deux nombres, la racine carrée est toujours celui qui est positif, donc ici \sqrt 4=2.

 \sqrt 0=0 

La racine carrée d'un nombre réel est toujours positive.

La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas, car un carré ne peut jamais être négatif.

On ne peut pas écrire \sqrt{(−5)}, car aucun nombre réel n'a pour carré −5.

On étudie plus en détail la fonction racine carrée dans le chapitre « Fonctions de référence ».

B

Différence entre \sqrt{a^2}\text{ et }\left(\sqrt a\right)^2

Attention à ne pas confondre (\sqrt a)^2 avec \sqrt{a^2} !

  • Pour (\sqrt a)^2, on doit calculer d'abord la racine carrée de a, ce qui n'est possible que si a est positif. Puis on élève le résultat au carré. Ce calcul n'est donc possible que si le nombre a est positif.
  • Pour \sqrt{a^2}, on élève d'abord le nombre a au carré, ce qui donne un résultat forcément positif, quel que soit le signe de a. Puis on applique la racine à ce résultat. On peut donc faire ce calcul quel que soit le signe du nombre a.
  • \sqrt{(−5)^2}=\sqrt{25}=5
  • Mais (\sqrt{(−5)})^2 n'a pas de sens car −5 est négatif, et on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.

Valeur de \sqrt{a^2} 

  • si a>0 , \sqrt{a^2}=a.
  • si a<0 , \sqrt{a^2}=-a (-a est effectivement positif dans ce cas). 

\sqrt{5^2}=\sqrt{25}=5

\sqrt{(−5)^2}=\sqrt{25}=5 donc \sqrt{(−5)^2}=-(−5) .

  • si  a>0\sqrt{a^2}=\sqrt a\times \sqrt a=(\sqrt a)^2=a .
  • si  a<0, \sqrt{a^2}=\sqrt{-a}\times \sqrt{-a}=(\sqrt{-a})^2=-a.

Grâce à la notation « valeur absolue », pour tout nombre réel a, on peut écrire : \sqrt{a^2}=|a|.

(Voir le chapitre « Droite des réels et valeur absolue ».)

C

Propriétés de calcul

Soit a et b deux nombres réels positifs :

\sqrt{\mathit{ab}}=\sqrt a\times \sqrt b

\sqrt{12}=\sqrt{3\times 4}=\sqrt 3\times \sqrt 4

Par définition de la racine carrée, on a (\sqrt{\mathit{ab}})^2=\mathit{ab}.

Par ailleurs, en utilisant les propriétés des puissances, on a :

(\sqrt a\times \sqrt b)^2=(\sqrt a)^2\times (\sqrt b)^2=a\times b.

On a donc (\sqrt{\mathit{ab}})^2=(\sqrt a\times \sqrt b)^2.

Comme une racine carrée est toujours positive \sqrt{\mathit{ab}} et \sqrt a\times \sqrt b sont tous les deux positifs, on a finalement : \sqrt{\mathit{ab}}=\sqrt a\times \sqrt b.

Soit a et b deux nombres réels positifs, avec b\neq 0 :

\sqrt{\dfrac a b}=\dfrac {\sqrt a}{\sqrt b}

\sqrt{\dfrac 9 4}=\sqrt 9\times \sqrt 4

Dans les propriétés ci-dessus, on précise que a et b doivent être positifs car sinon \sqrt a et \sqrt b n'existent pas.

La racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines carrées.

\sqrt{a+b}\neq \sqrt a+\sqrt b

De même :

\sqrt{a-b}\neq \sqrt a-\sqrt b

Soit a et b des nombres réels positifs.

\sqrt{a+b}\ \lt \ \sqrt a+\sqrt b

  • \sqrt{a+b} et \sqrt a+\sqrt b sont des nombres positifs, car une racine carrée est toujours positive.
  • Lorsque des nombres sont positifs, les comparer revient à comparer leurs carrés (voir le cours sur la fonction carrée dans le chapitre « Fonctions de référence »).
  • D'après l'identité remarquable :

(\sqrt a+\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2+2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2=a+b+2\sqrt a\sqrt b

De plus, (\sqrt{a+b})^2=a+b.

  • Comme 2, \sqrt a et \sqrt b sont strictement positifs, le produit 2\sqrt a\sqrt b est strictement positif : 2\sqrt a\sqrt b>0.

Donc a+b\ <\ a+b+2\sqrt a\sqrt b.

Donc (\sqrt{a+b})^2\ <\ (\sqrt a+\sqrt b)^2.

  • Finalement, \sqrt{a+b}\ <\ \sqrt a+\sqrt b.