Équations et inéquations Cours

Sommaire

IÉquationsAPrincipes1Ensemble de résolution2Ensemble des solutions3Principe de résolutionBLes équations du premier degréCLes équations produitDLes équations quotientIIInéquationsADéfinitionsBRègles générales1Addition et soustraction par un nombre2Multiplication et division par un nombre3Addition de deux inégalités entre ellesCInéquations du premier degréDInéquations produit ou quotient1Signe d'un produit2Inéquation produit3Inéquation quotient
I

Équations

A

Principes

Équation

Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues.

 3x+1=0 est une équation avec une inconnue x.

 3x+1=2y−1 est une équation avec deux inconnues, x et y.

1

Ensemble de résolution

Parfois, on veut ajouter des contraintes sur l'inconnue (ou les inconnues), en fonction du problème à résoudre.

On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que AC = 3 et AB = 6.

Le point M est un point du segment [AB].

On appelle x la longueur AM et on cherche pour quelle(s) valeur(s) de x on obtient CM = 5.

Dans ce problème, comme M doit se situer entre A et B, la longueur AM doit être comprise entre 0 et 6.

-

On a donc une contrainte supplémentaire qui est 0\le x\le 6, c'est-à-dire x\in [0;6].

Pour résoudre le problème, on a va chercher les solutions parmi les réels de l'intervalle [0;6], et on écartera les autres éventuelles solutions possibles.

[0;6] est alors l'ensemble de résolution de l'équation.

Ensemble de résolution

L'ensemble de résolution de l'équation est l'ensemble dans lequel on cherche les solutions.

En l'absence de contraintes particulières, l'ensemble de résolution sera l'ensemble des réels \it{\mathbb{R}}.

2

Ensemble des solutions

Ensemble des solutions

Les solutions d'une équation sont les valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) qui appartiennent à l'ensemble de résolution et pour lesquelles l'égalité est vraie.

L'ensemble des solutions d'une équation est l'ensemble de toutes les solutions possibles.

Dans le problème précédent, on veut résoudre l'équation 9+x^2=25 sur [0;6], c'est-à-dire que l'ensemble de résolution est [0;6].

  • 9+\textcolor{green}{4^2}=25 et 4\in [0;6] donc 4 est une solution de l'équation.
  • 9+\textcolor{green}{2^2}\neq 25 donc 2 n'est pas solution de l'équation.
  • 9+\textcolor{green}{(−4)^2}=25 mais −4\notin [0;6] donc −4 n'est pas solution de l'équation.

Il est possible qu'aucune solution ne convienne, c'est-à-dire qu'aucune solution n'appartienne à l'ensemble de résolution.

3

Principe de résolution

Une égalité reste vraie si l'on ajoute, soustrait, multiplie ou divise chaque membre par le même nombre, à condition de ne pas multiplier ou diviser par 0.

Les équations obtenues en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant chaque membre par le même nombre (à condition de ne pas multiplier ou diviser par 0) ont le même ensemble de solutions.

On dit qu'elles sont équivalentes, et on le note en plaçant une double flèche placée entre les équations.

3x+4=2\\\Leftrightarrow \ 3x+4\textcolor{red}{-2}\ =\ 2\textcolor{red}{-2}\\\Leftrightarrow \ 3x+2\ =\ 0

On utilise ce principe pour transformer une équation jusqu'à en trouver la solution, le but étant d'isoler l'inconnue x dans un membre de l'équation.

À la fin des transformations, on obtient :

  • ou bien une ou plusieurs solutions, par exemple : x=5.
  • ou bien une égalité toujours vraie, par exemple : 0=0. Dans ce cas, tous les nombres de l'ensemble de résolution sont solutions.
  • ou bien une égalité toujours fausse, par exemple : 5=0. Dans ce cas, il n'y a pas de solution.
B

Les équations du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation à une seule inconnue qui peut se ramener à la forme : ax+b=0, où a et b sont des nombres réels fixés, avec a non nul.

La technique est alors d'isoler x  d'un côté, par transformations successives.

On veut résoudre dans \mathbb{R} l'équation  3x+4-x+10=5\left(x-2\right).

Etape 1

Ensemble de résolution

On se place dans \mathbb{R}, qui est l'ensemble de résolution.

« Soit x\in \mathbb{R}. »

Etape 2

Simplification

On simplifie les expressions au maximum, en développant et en réduisant :

3x+4-x+10=5\left(x-2\right)\\\Leftrightarrow 2x+14=5x-10

Etape 3

Transformation

On effectue des opérations identiques à droite et à gauche pour isoler l'inconnue, en réduisant au fur et à mesure :

2x+14=5x-10\\\Leftrightarrow 2x+14\textcolor{red}{+10} =5x-10 \textcolor{red}{+10} \\\Leftrightarrow2x+24=5x\\\Leftrightarrow 2x+24\textcolor{red}{-2x}=5x\textcolor{red}{-2x}\\\Leftrightarrow 24=3x\\\Leftrightarrow\textcolor{red}{\dfrac{\textcolor{black}{24}} 3}=\textcolor{red}{\dfrac{\textcolor{black}{3x}} 3}\\\Leftrightarrow8=x

Etape 4

Conclusion

On obtient une unique solution possible : x = 8.

C

Les équations produit

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

Autrement dit, pour tous A et B réels : A\times B=0\ \Leftrightarrow\ A=0\ \text{ou}\ B=0

\left(3x+2\right)\left(4x−5\right)=0\\\Leftrightarrow \ 3x+2=0\ \text{ ou }\ 4x−5=0\\ \Leftrightarrow \ x=-\dfrac 2 3\ \text{ ou }\ x=\dfrac 5 4

Donc l'ensemble S des solutions de l'équation est S=\left\{-\dfrac{2}{3};  \dfrac{5}{4} \right\}

Lorsqu'une équation n'est pas du premier degré, on peut essayer de s'y ramener en regroupant tous les termes dans un même membre, puis en factorisant de manière à obtenir un produit de facteurs du premier degré égal à 0.

On veut résoudre dans \mathbb{R} l'équation x^2−2x=x.

On se place dans l'intervalle de résolution :

« Soit  x \in \mathbb{R}. »

On regroupe tous les termes du même côté du signe égal : 

x^2-2x=x\\\Leftrightarrow x^2-2x-x=0\\\Leftrightarrow x^2-3x=0

On factorise l'expression obtenue : 

x^2-3x=0\\\Leftrightarrow x\left(x-3\right)=0

On obtient un produit de facteurs au membre de droite, et on peut appliquer la règle suivante :

« Un produit de facteur est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. »

x\left(x-3\right)=0\\\Leftrightarrow x=0\ \text{ ou }\ x-3=0\\\Leftrightarrow x=0\ \text{ ou } \ x=3

On conclut :

« L'équation admet deux solutions, x=0 et x=3. »

Il existe des équations du second degré que vous ne savez pas factoriser facilement, mais vous les aborderez en classe de première.

D

Les équations quotient

Quotient nul

Un quotient est nul si et seulement si :

  • son numérateur est nul ;
  • son dénominateur est non nul.

Dans une expression littérale comportant un quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur sont appelées « valeurs interdites ».

Cela ajoute une contrainte sur l'ensemble de résolution.

On veut résoudre l'équation : \dfrac{(3x+2)}{(4x−5)}=0.

Etape 1

Valeurs interdites

 4x−5=0\ \Leftrightarrow \ 4x=5\ \Leftrightarrow \ x=\dfrac 5 4 , donc il y a une unique valeur interdite qui est \dfrac 5 4

L'ensemble de résolution est donc \mathbb{R}\setminus \{\dfrac 5 4\} (lire « \mathbb{R} privé de \dfrac 5 4 »).

Etape 2

Annulation du numérateur

 3x+2=0\ \Leftrightarrow \ 3x=−2\ \Leftrightarrow \ x=−\dfrac 2 3, donc le numérateur est nul si et seulement si x=−\dfrac 2 3 

Etape 3

Conclusion

  •  -\dfrac 2 3 est le seul nombre réel qui annule le numérateur.
  • -\dfrac 2 3 \neq \dfrac 5 4 donc -\dfrac 2 3 n'annule pas le dénominateur. Il est bien dans l'ensemble de résolution.

L'ensemble S des solutions de l'équation est donc : S=-\dfrac 2 3 .

Avant de conclure, il faut bien vérifier que les solutions trouvées ne correspondent pas à un dénominateur égal à 0.

II

Inéquations

A

Définitions

Inéquation

Une inéquation est une inégalité comportant une ou plusieurs inconnues.

Ensemble des solutions d'une inéquation

Les solutions d'une inéquation sont les valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) pour lesquelles l'inégalité est vraie.

L'ensemble des solutions d'une inéquation est l'ensemble de toutes les solutions possibles.

B

Règles générales

Comme les équations, une inéquation peut présenter des valeurs interdites. De la même façon, elle a un ensemble de résolution et un ensemble de solutions (qui peut être vide), avec les mêmes définitions que pour les équations.

1

Addition et soustraction par un nombre

On peut manipuler les inéquations comme les équations en ce qui concerne l'addition et la soustraction.

On ne change pas les solutions d'une inéquation en ajoutant ou en soustrayant le même nombre à chaque membre.

Pour tout  x \in \mathbb{R},

  3x+4\le 2\\\Leftrightarrow 3x+4\textcolor{red}{−2}\ \le \ 2\textcolor{red}{−2}\\\Leftrightarrow 3x+2\ \le \ 0

2

Multiplication et division par un nombre

Par contre, il faut faire attention si l'on multiplie ou si l'on divise.

Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre :

  • si ce nombre est positif, on ne change pas le sens de l'inégalité ;

  • s'il est négatif, on change le sens de l'inégalité.

Soit x\in R.

  • 2 \gt 0  donc  3x+4\le 2\\\Leftrightarrow \left(3x+4\right)\textcolor{red}{\times 2}\ \le\ 2\textcolor{red}{\times 2}
  • \left(-3\right) \lt 0  donc  3x+4\le 2\\\Leftrightarrow \left(3x+4\right)\textcolor{red}{\times \left(-3\right)}\ \ge \ 2\textcolor{red}{\times\left(-3\right)}

Les propriétés d'addition, soustraction, multiplication et division par un nombre sont en relation avec le sens de variation des fonctions affines.

En effet, multiplier par un nombre donné a et ajouter un nombre donné b revient à appliquer la fonction affine d'expression f\left(x\right)=ax+b à chaque membre de l'inégalité.

Or :

  • on ne change pas le sens d'une inégalité quand on applique une fonction croissante, ce qui est le cas pour f si et seulement si son coefficient directeur a est positif.
  • on change le sens d'une inégalité quand on applique une fonction décroissante, ce qui est le cas pour f si et seulement si son coefficient directeur a est négatif.

 

On retrouve bien le fait que le sens de l'inégalité dépend uniquement du signe du coefficient par qui on multiplie ou divise, et ne dépend pas de ce que l'on ajoute ou retranche. 

On a exécuté une suite d'opérations sur des inégalités :

x \lt 2 \Leftrightarrow \dfrac x 3-4 \lt \dfrac 2 3 - 4\\

On a divisé par 3 et soustrait 4. Comme 3 est positif, nous n'avons pas changé le sens de l'inégalité.

Cela revient à appliquer la fonction affine d'expression  f\left(x\right)= \dfrac 1 3 x - 4, de coefficient directeur  \dfrac 1 3, qui est croissante car son coefficient directeur est positif.

3

Addition de deux inégalités entre elles

Si deux inégalités sont vraies et de même sens, on peut les ajouter membre à membre pour obtenir une troisième inégalité vraie également :

Soit a, b, c et d des réels.

Si a \lt b et c\lt d alors a+c\lt b+d.

Soit  x \in \mathbb{R}.

Si x<3 et y<5 alors x+y < 3+5.

À ne pas confondre avec le fait d'ajouter le même nombre à chaque membre.

Ici, on ajoute membre à membre, et ce n'est pas une équivalence : on ne peut pas revenir en arrière.

Cela ne marche pas avec la soustraction.

C

Inéquations du premier degré

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on peut utiliser la même méthode que pour une équation du premier degré.

La technique est d'isoler l'inconnue x dans un des deux membres, par transformations successives.

On veut résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation 3x+4\leq2+x-1.

On se place dans \mathbb{R}, qui est l'ensemble où l'on cherche les solutions :

« Soit x \in \mathbb{R}. »

On simplifie les expressions au maximum, en développant et en réduisant :

3x+4\le 2+x−1\\\Leftrightarrow 3x+4\le 1+x

On effectue des opérations identiques à droite et à gauche pour isoler l'inconnue, en réduisant au fur et à mesure, en

faisant bien attention au sens de l'inégalité lorsque l'on multiplie ou divise :

3x+4\ \le \ 1+x\\\Leftrightarrow 3x+4\textcolor{red}{−4\ \le \ }1+x\textcolor{red}{−4}\text{ car on soustrait}\\\Leftrightarrow 3x\ \le \ x−3\\\Leftrightarrow 3x\textcolor{red}{-x\ \le \ }x−3\textcolor{red}{-x}\text{ car on soustrait}\\\Leftrightarrow 2x\ \le \ −3\\\Leftrightarrow \textcolor{red}{\dfrac{\textcolor{black}{2x}} 2\ \le \ \dfrac{\textcolor{black}{−3}} 2}\text{ car on divise par un nombre positif}\\\Leftrightarrow x\ \le \ \dfrac{−3} 2\\

Les solutions de l'inéquation sont les nombres réels x tels que x\le \dfrac{−3} 2 .

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc l'intervalle \left]-\infty ;-\dfrac 3 2\right] .

D

Inéquations produit ou quotient

Pour résoudre une inéquation qui n'est pas du premier degré, on peut  :

  • rassembler tous les termes dans un membre, pour se ramener à une inéquation où l'un des membres est égal à 0 ;
  • factoriser et mettre au même dénominateur si besoin ;
  • déterminer le signe de chaque facteur et utiliser un tableau de signes pour faire le bilan.
1

Signe d'un produit

On rappelle les propriétés suivantes :

Soit A et B deux nombres réels.

  • Si A et B sont de même signe, alors le produit A \times B est positif.
  • Si A et B sont de signes différents, alors le produit A \times B est négatif.

 

Le tableau suivant donne le signe du produit A \times B, en fonction des signes de A et de B :

A

+

+

-

-

B

+

-

+

-

A \times B

+

-

-

+

Si le produit comporte plus de deux facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs :

  • si il y a un nombre impair de facteurs négatifs, le produit est négatif ;
  • si il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le produit est positif.

A

+

+

-

-

B

+

-

+

-

C

-

-

-

-

A \times B \times C

-

+

+

-

2

Inéquation produit

Dans le cas où l'inconnue ne figure pas au dénominateur d'un quotient, on se ramène à un produit de facteurs.

Pour tout x\ \in \ \mathbb{R},

\left(3x-4\right)^2\ {\leq}\ 3x-4\\\Leftrightarrow \left(3x-4\right)^2-\left(3x-4\right)\ \le \ 0\\\Leftrightarrow \left(3x-4\right)\left[3x-4-1\right]\ \le\ 0\\\Leftrightarrow \left(3x-4\right)\left(3x-5\right)\ \le \ 0

On cherche alors le signe de chaque facteur, pour dresser un tableau de signes.

On se propose de résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation  \left(3x-12\right)^2 \leq \left(-2x+7\right)^2.

Etape 1

Rassemblement dans un même membre

On rassemble tous les termes du même côté.

Pour tout  x \in \mathbb{R} :

\left(2x-12\right)^2 \leq \left(-2x+7\right)^2 \\\Leftrightarrow \left(2x-12\right)^2 - \left(-2x+7\right)^2 \leq 0

Etape 2

Factorisation

Dans cet exemple, on utilise l'identité remarquable a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right) :

\((3

Etape 3

Signe de chaque facteur

On détermine le signe de chaque facteur.

  •  x−5=0\ \Leftrightarrow \ x=5

    De plus, comme le coefficient directeur, 1, est positif, l'expression est d'abord négative puis positive.

  • 5x−19=0\ \Leftrightarrow \ x=\dfrac {19} 5.

    De plus, comme le coefficient directeur, 5, est positif, l'expression est d'abord négative puis positive.

Etape 4

Tableau de signes

On fait un tableau de signes, en utilisant les règles concernant le signe d'un produit.

-

Remarque : Lorsque l'un des facteurs est nul, le produit est nul, donc on a reporté les 0 sur la dernière ligne.

Etape 5

Conclusion

On lit sur la dernière ligne l'ensemble solution de l'inéquation.

Ici, on voit que le produit est strictement négatif entre \dfrac{19} 5 et 5, et nul pour \dfrac{19} 5 et 5.

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :  \bf {S=\left[ \dfrac {19} 5;5\right]}.

3

Inéquation quotient

Dans le cas où l'inéquation contient un quotient avec l'inconnue au dénominateur, il faut d'abord identifier les valeurs interdites : ce sont celles qui annulent le dénominateur.

Ensuite, on utilise la même méthode, mais lorsque l'on fait le bilan dans le tableau de signes, on note d'une double barre les valeurs interdites.

On cherche à résoudre l'inéquation 4x−5\le \dfrac{10}{3x−2}.

Etape 1

Valeurs interdites

On a un quotient avec l'inconnue au dénominateur.

Or, le dénominateur ne doit jamais être nul, il faut donc vérifier qu'on a toujours  3x-2 \neq 0.

3x-2 = 0 \Leftrightarrow x =\dfrac 2 3

Donc on a une valeur interdite qui est  \dfrac 2 3.

L'ensemble de résolution de l'inéquation est  \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac 2 3 \right\}.

Il faudra bien vérifier qu'on exclut les valeurs interdites de l'ensemble solution.

On rassemble tous les termes du même côté :

Pour tout x\ \in \ \mathbb{R}\setminus \{\dfrac 2 3\} :

4x-5\ \le \ \dfrac{10}{3x-2}\\\Leftrightarrow \ 4x-5-\dfrac{10}{3x-2}\ \le \ 0\\

Etape 3

Réduction au même dénominateur

On réduit au même dénominateur, et on factorise :

4x−5-\dfrac{10}{3x−2}\ \le \ 0\\\Leftrightarrow \ \dfrac{(4x−5)\times (3x−2)}{3x−2}-\dfrac{10}{3x−2}\ \le\ 0\\\Leftrightarrow \ \dfrac{(4x−5)\times (3x−2)−10}{3x−2}\ \le \ 0\\\Leftrightarrow\ \dfrac{12x^2−15x−8x+10−10}{3x−2}\ \le \ 0\\\Leftrightarrow \ \dfrac{12x^2−23x}{3x−2}\ \le \ 0\\\Leftrightarrow\ \dfrac{x(12x−23)}{3x−2}\ \le \ 0

Etape 4

Signe de chaque facteur

On détermine le signe de chaque facteur, au numérateur et au dénominateur :

  • Le signe de x est évident.
  •  12x−23=0\ \Leftrightarrow \ x=\dfrac{23}{12} et comme le coefficient directeur, 12, est positif, l'expression est d'abord négative puis positive.
  •  3x−2=0\ \Leftrightarrow \ x=\dfrac 2 3 et comme le coefficient directeur, 3, est positif, l'expression est d'abord négative puis positive.
Etape 5

Tableau de signes

-

Remarque : On a bien indiqué par la double barre que, quand le dénominateur était nul, c'était une valeur interdite.

Etape 6

On lit sur la dernière ligne l'ensemble solution de l'inéquation.

L'ensemble des solutions de l'inéquation est  S=\left]-\infty ;0\right]\ \cup \ \left[\dfrac 23;\dfrac{23}{12}\right[.