Les fonctions usuellesCours

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction qui, à tout réel x, associe le réel ax+b, où a et b sont des réels fixes. On note alors, pour tout réel x :

f\left(x\right)=ax+b

La fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=2x+5 est une fonction affine.

Toute fonction affine est définie sur \mathbb{R}.

B

Sens de variation et signe d'une fonction affine

Si a \lt 0, f est strictement décroissante sur \mathbb{R}.

-
-

La fonction affine f:x\mapsto -x+1 représentée ci-dessus est une fonction décroissante car a=-1\lt0. Elle est positive sur \left]-\infty, 1 \right] et négative sur \left[1,+\infty \right[ car -\dfrac{b}{a}=1.

Si a \gt 0, f est strictement croissante sur \mathbb{R}.

-
-

La fonction affine f\left(x\right)=x+1 représentée ci-dessus est une fonction croissante car a=1\gt0. Elle est négative sur \left]-\infty, -1 \right] et positive sur \left]-1,+\infty \right[ car -\dfrac{b}{a}=-1.

Si a est non nul, l'équation f\left(x\right)=0 admet pour seule solution x=-\dfrac{b}{a}.

-\dfrac{b}{a} est donc le seul antécédent de 0 par f.

Si a= 0, f est constante sur \mathbb{R}.

-

La fonction représentée ci-dessus définie pour tout réel x par f\left(x\right)=3 est une fonction constante.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine est la droite d'équation y=ax+b.

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

La courbe représentative d'une fonction affine, d'équation y=ax+b, a pour coefficient directeur a et pour ordonnée à l'origine b.

La droite d'équation y=78x-45 a pour coefficient directeur 78 et pour ordonnée à l'origine −45.

  • Si a = 0, la fonction est constante et l'image de n'importe quel réel est b. Sa droite représentative est "horizontale" (parallèle à l'axe des abscisses).
  • Si b = 0, la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

Soit f une fonction affine définie par f\left(x\right)=ax+b pour laquelle on ne connaît ni la valeur de a ni la valeur de b. Si on connaît l'image par f de deux réels distincts x_1 et x_2, notées f\left(x_1\right)=y_1 et f\left(x_2\right)=y_2, on peut déterminer a puis b :

a=\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}

b=f\left(x_1\right)-ax_1 ou b=f\left(x_2\right)-ax_2

f est une fonction affine définie par f\left(3\right)=2 et f\left(8\right)=-7. On peut calculer le coefficient directeur :

a=\dfrac{f\left(8\right)-f\left(3\right)}{8-3}=\dfrac{-7-2}{8-3}=\dfrac{-9}{5}

On en déduit alors l'ordonnée à l'origine :

b = f\left(3\right)-3a=2-3\times\left( -\dfrac{9}{5} \right)=2+\dfrac{27}{5}=\dfrac{37}{5}

II

La fonction carré

Fonction carré

La fonction carré est la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = x^{2}

La fonction carré est strictement décroissante sur \left]-\infty,0 \right] et strictement croissante sur \left[ 0,+\infty \right[.

-

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-

La fonction carré est toujours positive ou nulle.

La fonction carré est une fonction paire. Autrement dit, son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et, pour tout réel x, f\left(-x\right)=f\left(x\right).

Notons f la fonction carré. f étant paire, on a :

  • f\left(-5\right)=f\left(5\right)
  • f\left(-3\right)=f\left(3\right)
  • f\left(-10\right)=f\left(10\right)

Le tableau suivant donne quelques images de réels par la fonction carré :

x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

La fonction carré étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

  • Pour tous réels a et b, si a\lt b\lt 0, alors a^2 \gt b^2
  • Pour tous réels a et b, si 0\lt a\lt b, alors a^2 \lt b^2

On peut donc dire que le passage au carré :

  • "Inverse l'ordre" avec les nombres négatifs.
  • "Conserve l'ordre" avec les nombres positifs.
III

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction f définie sur \mathbb{R}^{*} par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}

B

Le sens de variation

La fonction inverse est strictement décroissante sur \left]-\infty,0 \right[ et sur \left]0,+\infty \right[.

-
  • Pour tous réels a et b, si a\lt b\lt 0, \dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}
  • Pour tous réels a et b, si 0\lt a\lt b, \dfrac{1}{a}\gt \dfrac{1}{b}
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-

La fonction inverse est impaire. Autrement dit :

  • Son ensemble de définition, \mathbb{R}^*, est centré en 0.
  • Pour tout réel x non nul, f\left(-x\right)=-f\left(x\right)

Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

IV

Les polynômes du second degré

Polynôme du second degré

Une fonction f définie sur \mathbb{R} dont l'expression peut s'écrire sous la forme f\left(x\right) = ax^2+bx+c, où a, b et c sont des réels tels que a\neq0, est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.

La fonction définie pour tout réel x par f\left(x\right)=2x^2-6x+1 est une fonction polynôme du second degré avec a=2, b=-6 et c=1.

Parabole

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole.

Sommet d'une parabole

On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.

Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right)=ax^2+bx+c (avec a\neq0 ).

  • Si a\gt0, la parabole représentant f est orientée "vers le haut", autrement dit la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
  • Si a\lt0, la parabole représentant f est orientée "vers le bas", autrement dit la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.

Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec a\gt0.

-

Voici les courbes représentatives de plusieurs fonctions polynôme du second degré, avec a\lt0.

-

L'expression de toute fonction polynôme du second degré f\left(x\right)=ax^2+bx+c peut s'écrire, de façon unique, sous la forme :

f\left(x\right) = a\left(x - \alpha \right)^{2} + \beta

\alpha et \beta sont des réels et a est le coefficient de x^2.

Cette forme est appelée forme canonique de f\left(x\right) . Dans ce cas, le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées \left( \alpha;\beta \right).

On obtient :

  • \alpha=\dfrac{-b}{2a}
  • \beta est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire \beta=f\left(\alpha\right)

Soit f la fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right)=2x^2-4x-6. On sait que la forme canonique de f\left(x\right) est du type :

f\left(x\right)=2\left( x-\alpha \right)^2+\beta

Avec :

  • \alpha = \dfrac{-b}{2a}
  • \beta=f\left(\alpha\right)

Ici, on obtient :

  • \alpha = \dfrac{4}{4}=1
  • \beta=f\left(1\right)=2\times1^2-4\times1-6=-8

Ici, la forme canonique de f\left(x\right) est donc :

f\left(x\right)=2\left( x-1\right)^2-8

Le sommet de la parabole représentative d'un trinôme du second degré est alors S\left( \alpha;\beta \right).

V

Les enchaînements

Enchaînement de fonctions

Décrire un enchaînement de fonctions permettant de passer de x à f\left(x\right) revient à détailler l'ensemble des opérations successives à appliquer sur x pour obtenir f\left(x\right). On construit ainsi par étapes la fonction finale à partir de fonctions de référence.

La fonction f, définie pour tout réel x par f\left(x\right) = \left(x + 1\right)^2 - 5, est construite par enchaînement de la fonction affine x \longmapsto x+1, de la fonction carrée, et de la fonction affine x \longmapsto x-5 :

x \longmapsto x\textcolor{Blue}{+1} \longmapsto \left(x+1\right)^{\textcolor{Blue}{2}} \longmapsto \left(x + 1\right)^2 \textcolor{Blue}{- 5}

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