Déterminer l'expression d'une fonction affine Méthode

Sommaire

Méthode 1En utilisant le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine 1Donner l'expression réduite d'une fonction affine 2Calculer le coefficient directeur de la droite 3Lire l'ordonnée à l'origine 4Conclure sur l'expression de la fonction affineMéthode 2En résolvant un système 1Donner l'expression d'une fonction affine 2Déterminer les coordonnées de deux points de la droite 3Poser le système 4Résoudre le système 5Conclure sur l'expression de la fonction affine obtenue
Méthode 1

En utilisant le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine

Si on a la représentation graphique d'une fonction affine, on peut obtenir son expression en déterminant le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b.

On donne la représentation graphique d'une fonction affine f. À l'aide du graphique, déterminer l'expression réduite de f.

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Etape 1

Donner l'expression réduite d'une fonction affine

On rappelle qu'une fonction affine f est représentée par une droite et admet une expression de la forme f\left(x\right)=ax+b.

f est une fonction affine, elle a une expression de la forme f\left(x\right) = ax+b, avec :

  • a le coefficient directeur de la droite
  • b l'ordonnée à l'origine
Etape 2

Calculer le coefficient directeur de la droite

On identifie deux points A\left(x_A; y_A\right) et B\left(x_B ; y_B\right) appartenant à la droite.

D'après le cours, on sait que le coefficient directeur a est égal à :

a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

On calcule a.

On identifie deux points appartenant à la droite.

-

A\left(0;-4\right) et B\left(2;2\right) appartiennent à la droite.

Or, on sait que :

a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

On en déduit que :

a = \dfrac{2-\left(-4\right)}{2-0}

a = \dfrac{6}{2}=3

Etape 3

Lire l'ordonnée à l'origine

Sur le graphique, on détermine la valeur de b en lisant l'ordonnée à l'origine, soit l'ordonnée de l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

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De plus, on lit graphiquement que l'ordonnée à l'origine est b=-4.

Etape 4

Conclure sur l'expression de la fonction affine

On conclut en donnant l'expression réduite de la fonction affine f.

On conclut que la fonction f a pour expression :

f\left(x\right)=3x-4

Méthode 2

En résolvant un système

Afin de déterminer l'expression réduite d'une fonction affine f, on peut choisir deux points de sa droite représentative et résoudre le système à deux équations et deux inconnues obtenu.

On donne la représentation graphique d'une fonction affine f. À l'aide du graphique, déterminer l'expression réduite de f.

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Etape 1

Donner l'expression d'une fonction affine

f est une fonction affine, elle a une expression de la forme f\left(x\right) = ax+b.

La courbe représentative de la fonction f est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. C'est donc la courbe représentative d'une fonction affine qui admet pour expression :

f\left(x\right) = ax+b

Etape 2

Déterminer les coordonnées de deux points de la droite

On identifie deux points A\left(x_A; y_A\right) et B\left(x_B ; y_B\right) appartenant à la droite.

On identifie deux points de la droite :

-

Ici, on choisit A\left(0;1,5\right) et B\left(1;-0,5\right).

Etape 3

Poser le système

En prenant y=ax+b comme équation de la droite, on obtient le système :

\begin{cases} y_A = ax_A+b \cr \cr y_B = ax_B +b \end{cases}

A et B appartenant à la droite, leurs coordonnées vérifient l'équation de la droite. On a donc :

\begin{cases} f\left(0\right)=1,5 \cr \cr f\left(1\right)=-0,5\end{cases}

On obtient le système d'équations suivant, d'inconnues a et b :

\begin{cases} 1,5=a\times0+b \cr \cr -0,5 = a+b\end{cases}

Etape 4

Résoudre le système

On résout le système de deux équations à deux inconnues. On détermine ainsi a et b.

\begin{cases} 1,5=a\times0+b \cr \cr -0,5 = a+b\end{cases}

\Leftrightarrow\begin{cases} 1,5=b \cr \cr -0,5 = a+b\end{cases}

Et, en remplaçant b par sa valeur dans la deuxième équation :

\Leftrightarrow\begin{cases} 1,5=b \cr \cr -0,5 = a+1,5\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} b=1,5 \cr \cr -0,5-1,5=a\end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} b=1,5 \cr \cr a=-2\end{cases}

Etape 5

Conclure sur l'expression de la fonction affine obtenue

On conclut en donnant l'expression obtenue de la fonction affine f.

On conclut que la fonction f a pour expression :

f\left(x\right)=-2x+1,5