Donner le domaine de définition d'une fonction homographiqueMéthode

En présence d'une fonction homographique f d'expression f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}, il faut avant tout déterminer son ensemble de définition.

Donner l'ensemble de définition de la fonction homographique f définie par :

f\left(x\right) = \dfrac{2x-1}{2x-\dfrac{2}{3}}

Etape 1

Rappeler que le dénominateur doit être non nul

On rappelle que la fonction est définie uniquement lorsque son dénominateur est non nul.

f est une fonction homographique d'expression f\left(x\right) = \dfrac{2x-1}{2x-\dfrac{2}{3}}.

f\left(x\right) existe si et seulement si 2x-\dfrac{2}{3}\neq0.

Etape 2

Résoudre l'équation

On résout dans \mathbb{R} l'équation cx+d=0.

Pour tout réel x :

2x - \dfrac{2}{3} = 0

\Leftrightarrow 2x = \dfrac{2}{3}

\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}

Etape 3

Conclure sur le domaine de définition

On conclut en donnant le domaine de définition de la fonction f.

On en déduit que la fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac{1}{3} \right\}.