Déterminer les images et antécédents d'un intervalle de la fonction carré Problème

On cherche les images des réels de l'intervalle \left[0;2\right] par la fonction carré :

0\leqslant x\leqslant2

Tous les membres de cette inéquation étant positifs, on peut les élever au carré :

0\leqslant x^{2}\leqslant4

Soit : 0\leqslant f\left(x\right) \leqslant4

De plus, on remarque par lecture graphique que pour x situé entre 0 et 2, la fonction carré prend toutes les valeurs réelles entre 0 et 4.

Pour pouvoir composer une inégalité par la fonction carré, il faut que tous ses membres soient de même signe.

On étudie donc séparément les images par f des intervalles :

• \left[-1;0\right]
• \left[0;3\right]

On cherche les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;4 \right] par la fonction carré.

Comme f est croissante sur \mathbb{R}^{+} ,on en déduit que les réels de l'intervalle \left[0;2\right] sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;4 \right] par la fonction carré sur \mathbb{R}^{+}

De plus, la fonction carré ayant un comportement symétrique par rapport à 0, on en déduit que les réels de l'intervalle \left[-2;0 \right] sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;4 \right] par la fonction carré sur \mathbb{R}^{-}.

On cherche les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;9 \right] par la fonction carré.

Sachant qu'un carré est toujours positif ou nul, on en déduit tout d'abord que les réels de l'intervalle \left]-\infty;0 \right] ne possèdent pas d'antécédent par la fonction carré.

Enfin, il reste à déterminer les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9 \right] par la fonction carré.

On en déduit que les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9 \right] par la fonction carré sont les réels de l'intervalle \left[-3;3 \right].