On a, pour tout réel x, f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-16.
Quelle est la forme développée de f(x) ?
Pour tout réel x, on a :
f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-16
\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^{2}-6x+9-16
\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^{2}-6x-7
La forme développée de f(x) est : f\left(x\right)=x^{2}-6x-7
Quelle est la forme factorisée de f(x) ?
Pour tout réel x, on a :
f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-16
On remarque une identité remarquable de type a^{2}-b^{2}.
Or, on sait que a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)
On obtient donc :
f\left(x\right)=\left(x-3\right)^{2}-4^{2}
f\left(x\right)=\left(x-3-4\right)\left(x-3+4\right)
f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(x+1\right)
La forme factorisée de f(x) est : f\left(x\right)=\left(x-7\right)\left(x+1\right)
Quelle est la solution de l'équation f\left(x\right)=0 ?
On utilise la forme factorisée. Un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses deux facteurs est nul.
On obtient donc :
f\left(x\right)=0
\Leftrightarrow \left(x-7\right)\left(x+1\right)=0
\Leftrightarrow x-7=0 ou x+1=0
\Leftrightarrow x=7 ou x=-1
S=\left\{-1;7\right\}
Quelle est la solution de l'équation f\left(x\right)=-7 ?
On utilise la forme développée.
f\left(x\right)=-7
\Leftrightarrow x^{2}-6x-7=-7
\Leftrightarrow x^{2}-6x=0
\Leftrightarrow x\left(x-6\right)=0
Or, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses deux facteurs est nul.
x\left(x-6\right)=0
\Leftrightarrow x=0 ou x-6=0
\Leftrightarrow x=0 ou x=6
S=\left\{ 0;6\right\}