On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quelle est l'image de l'intervalle \left[0;2\right] par f ?
On sélectionne les abscisses x appartenant à l'intervalle \left[0;2\right].
On remarque par lecture graphique que pour x situé entre 0 et 2, la fonction carré prend toutes les valeurs réelles entre 0 et 4 :
On en déduit que l'image de l'intervalle [0;2] par f est l'intervalle [0;4].
On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quelle est l'image de l'intervalle \left[-1;3\right] par f ?
On cherche les images des réels de l'intervalle [-1;3] par la fonction carré :
-1\leqslant x \leqslant3
Pour pouvoir composer une inégalité par la fonction carré, il faut que tous ses membres soient de même signe.
On étudie donc séparément les images par f les intervalles [-1;0] et [0;3]
Image de [-1;0] par f
-1\leqslant x \leqslant0
Les membres étant tous négatifs, le signe de l'inégalité change par élévation au carré :
0^2\leqslant x^2\leqslant\left(-1\right)^2
0\leqslant x^2\leqslant1
On en déduit que l'image de l'intervalle [-1;0] par f est l'intervalle [0;1].
Image de [0;3] par f
0\leqslant x \leqslant3
Les membres de cette inégalité étant tous positifs, par élévation au carré, on obtient :
0^2\leqslant x^2 \leqslant3^2
0\leqslant x^2 \leqslant9
On en déduit que l'image de l'intervalle [0;3] par f est l'intervalle [0;9].
L'intervalle [0;1] étant inclus dans l'intervalle [0;9], on en déduit finalement que l'image de l'intervalle [-1;3] par f est l'intervalle [0;9].
L'image de l'intervalle [-1;3] par f est l'intervalle [0;9].
On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quels sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;4 \right] par f ?
On cherche les antécédents des réels de l'intervalle [0;4] par la fonction carré.
Sachant que la fonction carré est croissante sur \mathbb{R}^+ , on en déduit que les réels de l'intervalle [0;2] sont les antécédents des réels de l'intervalle [0;4] par la fonction carré sur \mathbb{R}^+ .
En effet, on a : 0\leqslant x\leqslant 2\Leftrightarrow0\leqslant x^2\leqslant 4
De plus, la fonction carré ayant un comportement symétrique par rapport à 0, on en déduit que les réels de l'intervalle [-2;0] sont les antécédents des réels de l'intervalle [0;4] par la fonction carré sur \mathbb{R}^- .
Finalement, les antécédents des réels de l'intervalle [0;4] par f sont les réels de l'intervalle [-2;2].
On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quels sont les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;9 \right] par f ?
On cherche les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;9\right] par la fonction carré.
Sachant qu'un carré est toujours positif ou nul, on en déduit tout d'abord que les réels de l'intervalle \left] -\infty;0 \right] ne possèdent pas d'antécédent par la fonction carré.
Enfin, il reste à déterminer les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9\right] par la fonction carré.
Sachant que la fonction carré est croissante sur \mathbb{R}^+ , on en déduit que les réels de l'intervalle [0;3] sont les antécédents des réels de l'intervalle [0;9] par la fonction carré sur \mathbb{R}^+ .
En effet, on a : 0\leqslant x\leqslant 3\Leftrightarrow0\leqslant x^2\leqslant 9
De plus, la fonction carré ayant un comportement symétrique par rapport à 0, on en déduit que les réels de l'intervalle [-3;0] sont les antécédents des réels de l'intervalle [0;9] par la fonction carré sur \mathbb{R}^- .
On en déduit que les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;9\right] par la fonction carré sont les réels de l'intervalle \left[-3;3\right] .
Finalement, les antécédents des réels de l'intervalle \left]-\infty;9\right] par f sont les réels de l'intervalle \left[-3;3\right] .
On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quelle est l'image de l'intervalle \left[1;2\right] par f ?
On sélectionne les abscisses x appartenant à l'intervalle \left[1;2\right].
On remarque par lecture graphique que pour x situé entre 1 et 2, la fonction carré prend toutes les valeurs réelles entre 1 et 4 :
On en déduit que l'image de l'intervalle [1;2] par f est l'intervalle [1;4].
On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quelle est l'image de l'intervalle \left[-2;1\right] par f ?
On cherche les images des réels de l'intervalle \left[-2;1\right] par la fonction carré :
-2\leqslant x\leqslant 1
Pour pouvoir composer une inégalité par la fonction carré, il faut que tous ses membres soient de même signe.
On étudie donc séparément les images par f des intervalles [-2;0] et [0;1]
Image de [-2;0] par f
-2\leqslant x \leqslant0
Les membres étant tous négatifs, le signe de l'inégalité change par élévation au carré :
0\leqslant x^{2}\leqslant 4
On en déduit que l'image de l'intervalle [-2;0] par f est l'intervalle [0;4].
Image de [0;1] par f
0\leqslant x \leqslant 1
Les membres étant tous positifs, le signe de l'inégalité ne change pas par élévation au carré :
0\leqslant x^{2}\leqslant 1
On en déduit que l'image de l'intervalle [0;1] par f est l'intervalle [0;1].
L'intervalle [0;1] étant inclus dans l'intervalle [0;4], on en déduit finalement que l'image de l'intervalle [-2;1] par f est l'intervalle [0;4].
L'image de l'intervalle [-2;1] par f est l'intervalle [0;4].
On appelle f la fonction carré, définie sur \mathbb{R}, dont la courbe est représentée ci-dessous.
Quels sont les antécédents des réels de l'intervalle \left[0;1 \right] par f ?
On cherche les antécédents des réels de l'intervalle [0;1] par la fonction carré.
Sachant que la fonction carré est croissante sur ℝ ^{+} , on en déduit que les réels de l'intervalle [0;1] sont les antécédents des réels de l'intervalle [0;1] par la fonction carré sur ℝ ^{+} .
De plus, la fonction carré ayant un comportement symétrique par rapport à 0, on en déduit que les réels de l'intervalle [-1;0] sont les antécédents des réels de l'intervalle [0;1] par la fonction carré sur ℝ ^{-}.
Finalement, les antécédents des réels de l'intervalle [0;1] par f sont les réels de l'intervalle [-1;1].