Représenter une fonction polynôme du second degré Méthode

Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) =ax^2+bx+c }\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\), on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = -2x^2-4x+7}\)

Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Etape 1

Donner la forme de la parabole suivant le signe de a

Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) =ax^2+bx+c}\) dépend du signe de a :

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\) alors f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\), avec \(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{b}{2a}}\).
Si \(\displaystyle{a \lt 0}\) alors f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\), avec \(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{b}{2a}}\).

On en déduit la forme de la parabole.

On remarque que \(\displaystyle{a = -2 \lt 0}\).

On en déduit que f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\), avec :

\(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{b}{2a}}\)

\(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{-4}{2\times \left(-2\right)}=-1}\)

Ainsi, f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; -1\right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[-1;+\infty \right[}\).

Etape 2

Déterminer les coordonnées du sommet

D'après le cours, la parabole admet un sommet S de coordonnées \(\displaystyle{\left(\alpha ; \beta\right)}\), avec \(\displaystyle{\beta=f\left(\alpha\right)}\).

La parabole admet un sommet S de coordonnées \(\displaystyle{\left(\alpha ; \beta\right)}\)

On sait que \(\displaystyle{\alpha = -1}\) donc :

\(\displaystyle{\beta =f\left(\alpha\right) =-2 \left(-1\right)^2-4\times \left(-1\right) +7 =9}\)

On en déduit que le sommet de la parabole a pour coordonnées (−1;9).

Etape 3

Etablir un tableau de valeurs

Pour certains réels x, on calcule \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) et on récapitule les résultats dans un tableau.

On calcule :

\(\displaystyle{f\left(0\right)=-2\times 0^2-4\times 0+7 = 7}\)

On calcule de même \(\displaystyle{f\left(-3\right)}\), \(\displaystyle{f\left(-2\right)}\), \(\displaystyle{f\left(-1\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(1\right)}\).

On obtient le tableau de valeurs suivant :

x	−3	−2	−1	0	1
\(\displaystyle{f\left(x\right)}\)	1	7	9	7	1

Etape 4

Tracer la courbe

On place les points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x;f\left(x\right)\right)}\) du tableau de valeurs dans un repère. On place également le sommet \(\displaystyle{S\left(\alpha;\beta\right)}\). La courbe passera par ces points.

On place les points sur le graphique et on trace la courbe :