Donner la forme de la parabole suivant le signe de a
Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) =ax^2+bx+c}\) dépend du signe de a :
- Si \(\displaystyle{a \gt 0}\) alors f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\), avec \(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{b}{2a}}\).
- Si \(\displaystyle{a \lt 0}\) alors f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\), avec \(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{b}{2a}}\).
On en déduit la forme de la parabole.
On remarque que \(\displaystyle{a = -2 \lt 0}\).
On en déduit que f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\), avec :
\(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{b}{2a}}\)
\(\displaystyle{\alpha =-\dfrac{-4}{2\times \left(-2\right)}=-1}\)
Ainsi, f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; -1\right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[-1;+\infty \right[}\).
Déterminer les coordonnées du sommet
La parabole admet un sommet S de coordonnées \(\displaystyle{\left(\alpha ; \beta\right)}\)
On sait que \(\displaystyle{\alpha = -1}\) donc :
\(\displaystyle{\beta =f\left(\alpha\right) =-2 \left(-1\right)^2-4\times \left(-1\right) +7 =9}\)
On en déduit que le sommet de la parabole a pour coordonnées (−1;9).
Etablir un tableau de valeurs
On calcule :
\(\displaystyle{f\left(0\right)=-2\times 0^2-4\times 0+7 = 7}\)
On calcule de même \(\displaystyle{f\left(-3\right)}\), \(\displaystyle{f\left(-2\right)}\), \(\displaystyle{f\left(-1\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(1\right)}\).
On obtient le tableau de valeurs suivant :
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) | 1 | 7 | 9 | 7 | 1 |
