Représenter une fonction polynôme du second degré Méthode

Sommaire

1Donner la forme de la parabole suivant le signe de a 2Déterminer les coordonnées du sommet 3Etablir un tableau de valeurs 4Tracer la courbe

Afin de représenter une fonction polynôme du second degré d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c , avec a \neq 0, on étudie le signe de a et on détermine les coordonnées de son sommet avant de dresser un tableau de valeurs.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = -2x^2-4x+7

Tracer l'allure de la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Etape 1

Donner la forme de la parabole suivant le signe de a

Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression f\left(x\right) =ax^2+bx+c dépend du signe de a :

  • Si a \gt 0 alors f est strictement décroissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement croissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[, avec \alpha =-\dfrac{b}{2a}.
  • Si a \lt 0 alors f est strictement croissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement décroissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[, avec \alpha =-\dfrac{b}{2a}.

On en déduit la forme de la parabole.

On remarque que a = -2 \lt 0.

On en déduit que f est strictement croissante sur \left]-\infty ; \alpha \right] et strictement décroissante sur \left[\alpha ;+\infty \right[, avec :

\alpha =-\dfrac{b}{2a}

\alpha =-\dfrac{-4}{2\times \left(-2\right)}=-1

Ainsi, f est strictement croissante sur \left]-\infty ; -1\right] et strictement décroissante sur \left[-1;+\infty \right[.

Etape 2

Déterminer les coordonnées du sommet

D'après le cours, la parabole admet un sommet S de coordonnées \left(\alpha ; \beta\right), avec \beta=f\left(\alpha\right).

La parabole admet un sommet S de coordonnées \left(\alpha ; \beta\right)

On sait que \alpha = -1 donc :

\beta =f\left(\alpha\right) =-2 \left(-1\right)^2-4\times \left(-1\right) +7 =9

On en déduit que le sommet de la parabole a pour coordonnées (−1;9).

Etape 3

Etablir un tableau de valeurs

Pour certains réels x, on calcule f\left(x\right) et on récapitule les résultats dans un tableau.

On calcule :

f\left(0\right)=-2\times 0^2-4\times 0+7 = 7

On calcule de même f\left(-3\right), f\left(-2\right), f\left(-1\right) et f\left(1\right).

On obtient le tableau de valeurs suivant :

x −3 −2 −1 0 1
f\left(x\right) 1 7 9 7 1
Etape 4

Tracer la courbe

On place les points de coordonnées \left(x;f\left(x\right)\right) du tableau de valeurs dans un repère. On place également le sommet S\left(\alpha;\beta\right). La courbe passera par ces points.

On place les points sur le graphique et on trace la courbe :

-