Utiliser un trinôme du second degré pour résoudre un problème d'aire - 2nde - Problème Mathématiques

ABCD est un rectangle tel que \(\displaystyle{AB=12}\) cm et \(\displaystyle{AD=8}\) cm.

Soit EFGH le quadrilatère tel que :

Les points E, F, G et H appartiennent aux segments \(\displaystyle{\left[AB\right], \left[BC \right], \left[CD \right] }\) et \(\displaystyle{\left[ DA\right]}\)
\(\displaystyle{AE=BF=CG=DH=x}\)

On appelle f la fonction qui associe à x l'aire du quadrilatère EFGH.

Quelles sont les valeurs possibles de x ?

\(\displaystyle{\left[0;8\right]}\)

\(\displaystyle{\left[0;12\right]}\)

\(\displaystyle{\left[0;4\right]}\)

\(\displaystyle{\left[0;6\right]}\)

Quelle est l'expression de la fonction f qui associe à x l'aire du quadrilatère EFGH ?

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2x^{2}-20x+96}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)=x^{2}-20x+96}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)=-2x^{2}+20x-96}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)=2x^{2}-20x-96}\)

La forme canonique de f(x) est : \(\displaystyle{f\left(x\right)=2\left(x-5\right)^{2}+46}\).

Quelle est la valeur de x pour laquelle l'aire d'EFHG est minimale ? Que vaut cette aire minimale ?

On en déduit que l'aire de EFGH est minimale pour \(\displaystyle{x=-5}\). Elle vaut alors 46 cm².

On en déduit que l'aire de EFGH est minimale pour \(\displaystyle{x=5}\). Elle vaut alors 45 cm².

On en déduit que l'aire de EFGH est minimale pour \(\displaystyle{x=5}\). Elle vaut alors 46 cm².

On en déduit que l'aire de EFGH est minimale pour \(\displaystyle{x=4}\). Elle vaut alors 44 cm².

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