Reconnaître une fonction homographiqueMéthode

Une fonction homographique est une fonction qui admet une expression de la forme f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}, avec c\neq0 et ad-bc\neq0.

On est donc capable de déterminer si une fonction est homographique ou non.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\} par :

f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5}

f est-elle une fonction homographique ?

Etape 1

Mettre la fonction sous forme de quotient

Si ce n'est pas déjà le cas, on met la fonction sous forme d'un seul quotient.

La fonction f est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\} par :

f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5}

On met les deux termes sur le même dénominateur. Pour tout réel x différent de \dfrac{5}{2} :

f\left(x\right) = \dfrac{2\left(2x-5\right)}{2x-5}+\dfrac{3x}{2x-5}

f\left(x\right) =\dfrac{4x-10+3x}{2x-5}

Finalement :

f\left(x\right) =\dfrac{7x-10}{2x-5}

Etape 2

Rappeler la forme d'une fonction homographique

On rappelle le cours : f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec c \neq 0 et ad-bc \neq 0 tels que f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}.

f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec c \neq 0 et ad-bc \neq 0 tels que f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}.

Etape 3

Conclure

On détermine si f respecte les conditions précédentes. On conclut en disant si la fonction f est homographique ou non.

f est de la forme f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}, avec a = 7, b=-10, c = 2 et d = -5.

De plus :

  • c = 2 donc c \neq 0
  • 7 \times \left(-5\right) - \left(-10\right) \times 2 =-35+20 = -15 donc ad - bc \neq 0

On en conclut que la fonction f est une fonction homographique.