Reconnaître une fonction homographique Méthode

Sommaire

1Mettre la fonction sous forme de quotient 2Rappeler la forme d'une fonction homographique 3Conclure

Une fonction homographique est une fonction qui admet une expression de la forme f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}, avec c\neq0 et ad-bc\neq0.

On est donc capable de déterminer si une fonction est homographique ou non.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\} par :

f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5}

f est-elle une fonction homographique ?

Etape 1

Mettre la fonction sous forme de quotient

Si ce n'est pas déjà le cas, on met la fonction sous forme d'un seul quotient.

La fonction f est définie sur \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{2} \right\} par :

f\left(x\right) = 2+\dfrac{3x}{2x-5}

On met les deux termes sur le même dénominateur. Pour tout réel x différent de \dfrac{5}{2} :

f\left(x\right) = \dfrac{2\left(2x-5\right)}{2x-5}+\dfrac{3x}{2x-5}

f\left(x\right) =\dfrac{4x-10+3x}{2x-5}

Finalement :

f\left(x\right) =\dfrac{7x-10}{2x-5}

Etape 2

Rappeler la forme d'une fonction homographique

On rappelle le cours : f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec c \neq 0 et ad-bc \neq 0 tels que f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}.

f est une fonction homographique s'il existe quatre nombres réels a, b, c et d avec c \neq 0 et ad-bc \neq 0 tels que f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}.

Etape 3

Conclure

On détermine si f respecte les conditions précédentes. On conclut en disant si la fonction f est homographique ou non.

f est de la forme f\left(x\right) = \dfrac{ax+b}{cx+d}, avec a = 7, b=-10, c = 2 et d = -5.

De plus :

  • c = 2 donc c \neq 0
  • 7 \times \left(-5\right) - \left(-10\right) \times 2 =-35+20 = -15 donc ad - bc \neq 0

On en conclut que la fonction f est une fonction homographique.