Un joueur lance une fléchette sur une cible. Il atteint le rouge avec une probabilité de \dfrac{1}{9}, le vert avec une probabilité de \dfrac{5}{9} et le jaune avec une probabilité de \dfrac{1}{3}.
Il mise 1€. Il gagne 4€ s'il atteint le rouge, 3€ s'il atteint le vert et ne gagne rien s'il atteint le jaune.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
X prend les valeurs :
- 4-1=3 si la zone rouge est atteinte
- 3-1=2 si la zone verte est atteinte
- 0-1=-1 si la zone jaune est atteinte
On peut donc déterminer les probabilités.
- Le joueur gagne 3€ lorsqu'il atteint le rouge, avec une probabilité de \dfrac{1}{9}. Donc p\left(X=3\right)=\dfrac{1}{9}
- Le joueur gagne 2€ lorsqu'il atteint le vert, avec une probabilité de \dfrac{5}{9}. Donc p\left(X=2\right)=\dfrac{5}{9}
- Le joueur perd 1€ lorsqu'il atteint le jaune, avec une probabilité de \dfrac{1}{3}. Donc p\left(X=-1\right)=\dfrac{1}{3}
On résume ces résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X.
| x_{i} | -1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_{i}\right) | \dfrac{1}{3} | \dfrac{5}{9} | \dfrac{1}{9} |
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
D'après la question précédente, on obtient :
E\left(X\right)=-1\times\dfrac{1}{3}+2\times\dfrac{5}{9}+3\times\dfrac{1}{9}
E\left(X\right)=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{10}{9}+\dfrac{3}{9}
E\left(X\right)=-\dfrac{3}{9}+\dfrac{10}{9}+\dfrac{3}{9}
E\left(X\right)=\dfrac{10}{9}
Comment interpréter la valeur de E\left(X\right) ?
E\left(X\right) est la valeur que prend la variable aléatoire X en moyenne.
Le joueur gagnera donc en moyenne un peu plus de 1€.
Comme E\left(X\right)\gt0, le jeu est donc favorable au joueur.