Dans un jeu de fléchettes, la cible est constituée de disques de rayons respectifs 5,10 et 15 cm. Un joueur atteint toujours la cible et on admet que la probabilité qu'il atteigne une zone de cette cible est proportionnelle à l'aire de cette zone.
Lorsqu'il atteint la zone rouge, il gagne 10€, lorsqu'il atteint la zone bleue, il gagne 5€. En revanche si la fléchette atteint la zone verte, il perd 5€.
On appelle X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
Comme les probabilités des différentes zones sont proportionnelles à leur surface, il faut donc calculer les surfaces de ces différentes zones (en cm^{2} ) :
- La surface totale de la cible est \pi \times R^{2}=\pi \times 15^{2}=225\pi
- La surface de la zone rouge est \pi\times5^{2}=25\pi
- La surface de la zone bleue est \pi\times10^{2}-\pi\times5^{2}=100\pi-25\pi=75\pi
- La surface de la zone verte est \pi\times15^{2}-75\pi-25\pi=225\pi-100\pi=125\pi
On peut donc déterminer les probabilités.
- Le joueur gagne 10€ si la zone rouge est atteinte , donc X prend la valeur 10 avec une probabilité de \dfrac{25\pi}{225\pi}=\dfrac{25}{225}=\dfrac{1}{9}. Donc p\left(X=10\right)=\dfrac{1}{9}
- Le joueur gagne 5€ si la zone bleue est atteinte, donc X prend la valeur 5 avec une probabilité de \dfrac{75\pi}{225\pi}=\dfrac{75}{225}=\dfrac{1}{3}. Donc p\left(X=5\right)=\dfrac{1}{3}
- Le joueur perd 5€ lorsqu'il atteint la zone verte, donc X prend la valeur -5 avec une probabilité de \dfrac{125 \pi}{225 \pi}=\dfrac{125}{225}= \dfrac{5}{9}. Donc p\left(X=-5\right)=\dfrac{5}{9}
On résume ces résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X.
| x_{i} | -5 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_{i}\right) | \dfrac{5}{9} | \dfrac{1}{3} | \dfrac{1}{9} |
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
D'après la question précédente, on obtient :
E\left(X\right)=-5\times\dfrac{5}{9}+5\times\dfrac{1}{3}+10\times\dfrac{1}{9}
E\left(X\right)=-\dfrac{25}{9}+\dfrac{5}{3}+\dfrac{10}{9}
E\left(X\right)=-\dfrac{25}{9}+\dfrac{15}{9}+\dfrac{10}{9}
E\left(X\right)=\dfrac{0}{9}=0
E\left(X\right)=0
Comment interpréter la valeur de E\left(X\right) ?
E\left(X\right) est la valeur que prend la variable aléatoire X en moyenne.
Le joueur gagnera donc en moyenne 0€.
Comme E\left(X\right)=0, le jeu est donc équitable.