Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches.
Un joueur tire une boule de l'urne. Il gagne 1 point s'il tire une boule rouge, 2 points s'il tire une boule verte et 4 points s'il tire une boule blanche.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de points du joueur.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
On détermine d'abord le nombre total de boules dans l'urne :
5+3+2=10
D'après l'énoncé on sait que :
- Le joueur gagne 1 point, donc X prend la valeur 1, lorsque le joueur tire une boule rouge. Or il y a 5 boules rouges, donc le joueur gagne 1 point avec la probabilité \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}
- Le joueur gagne 2 points, donc X prend la valeur 2, lorsque le joueur tire une boule verte. Or il y a 3 boules vertes, donc le joueur gagne 2 points avec la probabilité \dfrac{3}{10}
- Le joueur gagne 4 points, donc X prend la valeur 4, lorsque le joueur tire une boule blanche. Or il y a 2 boules blanches, donc le joueur gagne 4 points avec la probabilité \dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
On résume ces résultats dans un tableau qui donne la loi de probabilité de X.
| x_i | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| p\left(X=x_i\right) | \dfrac{1}{2} | \dfrac{3}{10} | \dfrac{1}{5} |
Quelle est la valeur de E\left(X\right) ?
L'espérance d'une variable aléatoire X est donnée par la formule :
E\left(X\right)=\sum_{}^{}x_ip\left(X=x_i\right)
D'après la question précédente, on obtient :
E\left(X\right)=1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{3}{10}+4\times\dfrac{1}{5}
E\left(X\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{10}+\dfrac{4}{5}
E\left(X\right)=\dfrac{5}{10}+\dfrac{6}{10}+\dfrac{8}{10}
E\left(X\right)=\dfrac{19}{10}=1{,}9
Comment interpréter la valeur de E\left(X\right) ?
E\left(X\right) est la valeur que prend la variable aléatoire X en moyenne.
Le joueur gagnera donc en moyenne 1,9 point.
Comme E\left(X\right)\gt0, le jeu est donc favorable au joueur.