Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = 4 X_1 + 3 X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(50; 0{,}1) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(30; 0{,}4) ?
Pour calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, on calcule d'abord sa variance.
Or, on sait que, pour une combinaison linéaire de variables indépendantes, on a :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2) , pour a,b\in \mathbb{R}.
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(50; 0{,}1) , donc :
Var(X_1) = 50\times 0{,}1 \times (1 - 0{,}1)
Var(X_1) = 4{,}5
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(30; 0{,}4) , donc :
Var(X_2) = 30\times 0{,}4 \times (1 - 0{,}4)
Var(X_2) = 7{,}2
Ainsi :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2)
Var(4 X_1 + 3 X_2) = (4)^2 \times 4{,}5 + (3^2) \times 7{,}2
Var(4 X_1 + 3 X_2) = 16 \times 4{,}5 + 9 \times 7{,}2
Var(4 X_1 + 3 X_2) = 136{,}8
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance donc :
\sigma(4 X_1 + 3 X_2) = \sqrt{136{,}8}
Ainsi, \sigma(4 X_1 + 3 X_2) = 11{,}7 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = -3 X_1 + 2 X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(80; 0{,}8) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(40; 0{,}6) ?
Pour calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, on calcule d'abord sa variance.
Or, on sait que, pour une combinaison linéaire de variables indépendantes, on a :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2) , pour a,b\in \mathbb{R}.
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(80; 0{,}8) , donc :
Var(X_1) = 80\times 0{,}8 \times (1 - 0{,}8)
Var(X_1) = 12{,}8
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(40; 0{,}6) , donc :
Var(X_2) = 40\times 0{,}6 \times (1 - 0{,}6)
Var(X_2) = 9{,}6
Ainsi :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2)
Var(-3 X_1 + 2 X_2) = (-3)^2 \times 12{,}8 + (2^2) \times 9{,}6
Var(-3 X_1 + 2 X_2) = 9 \times 12{,}8 + 4 \times 9{,}6
Var(-3 X_1 + 2 X_2) = 153{,}6
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance, donc :
\sigma(-3 X_1 + 2 X_2) = \sqrt{153{,}6 }
Ainsi, \sigma(-3 X_1 + 2 X_2) = 12{,}394 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = 3 X_1 + 2 X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(75; 0{,}3) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(15; 0{,}9) ?
Pour calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, on calcule d'abord sa variance.
Or, on sait que, pour une combinaison linéaire de variables indépendantes, on a :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2) , pour a,b\in \mathbb{R}.
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(75; 0{,}3) , donc :
Var(X_1) = 75\times 0{,}3 \times (1 - 0{,}3)
Var(X_1) = 15{,}75
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(15; 0{,}9) , donc :
Var(X_2) = 15\times 0{,}9 \times (1 - 0{,}9)
Var(X_2) = 1{,}35
Ainsi :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2)
Var(3 X_1 + 2 X_2) = (3)^2 \times 15{,}75 + (2^2) \times 1{,}35
Var(3 X_1 + 2 X_2) = 9 \times 15{,}75 + 4 \times 1{,}35
Var(3 X_1 + 2 X_2) = 147{,}15
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance donc :
\sigma(3 X_1 + 2 X_2) = \sqrt{147{,}15}
Ainsi, \sigma(3 X_1 + 2 X_2) = 12{,}131 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = 5 X_1 + 2 X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}7) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}3) ?
Pour calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, on calcule d'abord sa variance.
Or, on sait que, pour une combinaison linéaire de variables indépendantes, on a :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2) , pour a,b\in \mathbb{R}.
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}7) , donc :
Var(X_1) = 20\times 0{,}7 \times (1 - 0{,}7)
Var(X_1) = 4{,}2
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}3) , donc :
Var(X_2) = 20\times 0{,}3 \times (1 - 0{,}3)
Var(X_2) = 4{,}2
Ainsi :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2)
Var(5 X_1 + 2 X_2) = (5)^2 \times 4{,}2 + (2^2) \times 4{,}2
Var(5 X_1 + 2 X_2) = 25 \times 4{,}2 + 4 \times 4{,}2
Var(5 X_1 + 2 X_2) = 121{,}8
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance, donc :
\sigma(5 X_1 + 2 X_2) = \sqrt{121{,}8}
Ainsi, \sigma(5 X_1 + 2 X_2) = 11{,}036 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = 6 X_1 + 3 X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(35; 0{,}2) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}4) ?
Pour calculer l'écart-type d'une variable aléatoire, on calcule d'abord sa variance.
Or, on sait que, pour une combinaison linéaire de variables indépendantes, on a :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2) , pour a,b\in \mathbb{R}.
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(35; 0{,}2) , donc :
Var(X_1) =35\times 0{,}2 \times (1 - 0{,}2)
Var(X_1) = 5{,}6
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}4) , donc :
Var(X_2) = 20\times 0{,}4 \times (1 - 0{,}4)
Var(X_2) = 4{,}8
Ainsi :
Var(a X_1 + b X_2) = a^2 Var(X_1) + b^2 Var(X_2)
Var(6 X_1 + 3 X_2) = (6)^2 \times 5{,}6 + (3^2) \times 4{,}8
Var(6 X_1 + 3 X_2) = 36 \times 5{,}6 + 9 \times 4{,}8
Var(6 X_1 + 3 X_2) = 244{,}8
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance, donc :
\sigma(6 X_1 + 3 X_2) = \sqrt{244{,}8}
Ainsi, \sigma(6 X_1 + 3 X_2) = 15{,}646 .