Soient n un entier naturel non nul et p un réel compris entre 0 et 1.
Soit X une variable aléatoire suivant la loi \mathcal{B}(n;p).
On cherche la formule de la variance de X.
On pose X = X_1 + X_2 + ... + X_n , avec tous les X_i qui suivent la même loi de probabilité.
Quelle est la loi de probabilité de X_i ?
On sait que X suit la binomiale \mathcal{B}(n;p).
Une loi binomiale est une somme de variable aléatoire indépendante suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(p).
Donc, si l'on pose X = X_1 + X_2 + ... + X_n , avec tous les X_i qui suivent la même loi de probabilité, alors X_i suit la loi de Bernoulli \mathcal{B}(p) .
Quelle est l'espérance de X_i ?
Soit X_i une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(p).
On a :
E(X_i)=1 \times P(X_i=1)+0\times P(X_i=0)= 1 \times p+0 \times (1-p)=p
Ainsi :
E(X_i) = p
Quelle est la variance de X_i ?
Soit X_i une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli \mathcal{B}(p).
On a :
E(X_i)=p
Donc :
V(X_i)=1^2 \times P(X_i=1)+0^2 \times P(X_i=0)-p^2=1 \times p+0 \times (1-p)-p^2=p-p^2=p(1-p)
Alors :
V(X) = p(1-p)
Quelle est la variance de X ?
On sait que X = X_1 + ... + X_n, avec les X_i qui sont des variables aléatoires indépendante et de variance V(X_i) = np(1-p) .
Donc :
V(X) = n V(X_i) = np(1-p)
Alors :
V(X) = np(1-p)