Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = X_1 + X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(70; 0{,}1) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}4) ?
On va ici utiliser la formule suivante, qui fait le lien entre écart-type et variance, pour une somme de variables indépendantes :
\sigma(X_1+X_2)=\sqrt{Var(X_1+X_2)}=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)}
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(70; 0{,}1) , donc :
Var(X_1) = 70\times 0{,}1 \times (1 - 0{,}1)
Var(X_1) = 6{,}3
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(20; 0{,}4) , donc :
Var(X_2) = 20\times 0{,}4 \times (1 - 0{,}4)
Var(X_2) = 4{,}8
Ainsi :
Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)
Var(X_1 + X_2) = 6{,}3 + 4{,}8
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance donc :
\sigma(X_1 + X_2) = \sqrt{11{,}1}
Ainsi, \sigma(X_1 + X_2) = 3{,}332 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = X_1 + X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(100; 0{,}8) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(50; 0{,}4) ?
On va ici utiliser la formule suivante, qui fait le lien entre écart-type et variance, pour une somme de variables indépendantes :
\sigma(X_1+X_2)=\sqrt{Var(X_1+X_2)}=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)}
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(100; 0{,}8) , donc :
Var(X_1) = 100\times 0{,}8 \times (1 - 0{,}8)
Var(X_1) = 16
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(50; 0{,}4) , donc :
Var(X_2) = 50\times 0{,}4 \times (1 - 0{,}4)
Var(X_2) = 12
Ainsi :
Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)
Var(X_1 + X_2) = 16 + 12
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance, donc :
\sigma(X_1 + X_2) = \sqrt{28}
Ainsi, \sigma(X_1 + X_2) = 5{,}292 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = X_1 + X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(35; 0{,}4) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(25; 0{,}2) ?
On va ici utiliser la formule suivante, qui fait le lien entre écart-type et variance, pour une somme de variables indépendantes :
\sigma(X_1+X_2)=\sqrt{Var(X_1+X_2)}=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)}
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(35; 0{,}4) , donc :
Var(X_1) = 35\times 0{,}4 \times (1 - 0{,}4)
Var(X_1) = 8{,}4
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(25; 0{,}2) , donc :
Var(X_2) = 25\times 0{,}2 \times (1 - 0{,}2)
Var(X_2) = 4
Ainsi :
Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)
Var(X_1 + X_2) = 8{,}4 + 4
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance donc :
\sigma(X_1 + X_2) = \sqrt{12{,}4}
Ainsi, \sigma(X_1 + X_2) = 3{,}521 .
Quel est l'écart-type de la loi X = X_1 + X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(10; 0{,}8) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(10; 0{,}6) ?
On va ici utiliser la formule suivante, qui fait le lien entre écart-type et variance, pour une somme de variables indépendantes :
\sigma(X_1+X_2)=\sqrt{Var(X_1+X_2)}=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)}
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(10; 0{,}8) , donc :
Var(X_1) =10\times 0{,}8 \times (1 - 0{,}8)
Var(X_1) = 1{,}6
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(10; 0{,}6) , donc :
Var(X_2) = 10\times 0{,}6 \times (1 - 0{,}6)
Var(X_2) = 2{,}4
Ainsi :
Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)
Var(X_1 + X_2) = 1{,}6 + 2{,}4
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance donc :
\sigma(X_1 + X_2) = \sqrt{2}
Ainsi, \sigma(X_1 + X_2) = 2 .
Quel est, en valeur approchée, l'écart-type de la loi X = X_1 + X_2 , où X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(25; 0{,}3) et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(10; 0{,}35) ?
On va ici utiliser la formule suivante, qui fait le lien entre écart-type et variance, pour une somme de variables indépendantes :
\sigma(X_1+X_2)=\sqrt{Var(X_1+X_2)}=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)}
Ici, X_1 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(25; 0{,}3) , donc :
Var(X_1) = 25\times 0{,}3 \times (1 - 0{,}3)
Var(X_1) = 5{,}25
Et X_2 est la loi binomiale de paramètres \mathcal{B}(10; 0{,}35) , donc :
Var(X_2) = 10\times 0{,}35 \times (1 - 0{,}35)
Var(X_2) = 2{,}275
Ainsi :
Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)
Var(X_1 + X_2) = 5{,}25 + 2{,}275
Finalement, l'écart-type est la racine de la variance donc :
\sigma(X_1 + X_2) = \sqrt{7{,}525}
Ainsi, \sigma(X_1 + X_2) = 2{,}743 .