Calculer l'espérance d'une combinaison linéaire de variables aléatoires Exercice

Pour calculer l'espérance d'une somme de variable aléatoire, on calcule la somme des espérances.

On a donc :
E(2 X_1 + 4 X_2) = E(2 X_1) + E(4 X_2)

Or, par la linéarité de l'espérance, on peut sortir le scalaire de l'espérance.

Ici, X_1 est une loi d'espérance E(X_1) = 0{,}2 donc :
E(2 X_1) = 2 \times E(X_1)
E(2 X_1) = 2 \times 0{,}2

Et X_2 est une loi d'espérance E(X_2) = 0{,}3 , donc :
E(4 X_2) = 4 \times E(X_2)
E(4 X_2) = 4 \times 0{,}3

Ainsi :
E(2 X_1 + 4 X_2) = 2 \times E(X_1) + 4 \times E(X_2)
E(2 X_1 + 4 X_2) = 2 \times 0{,}2 + 4 \times 0{,}3

Pour calculer l'espérance d'une somme de variable aléatoire, on calcule la somme des espérances.

On a donc :
E(5 X_1 + 2 X_2) = E(5 X_1) + E(2 X_2)

Or, par la linéarité de l'espérance, on peut sortir le scalaire de l'espérance.

Ici, X_1 est une loi d'espérance E(X_1) = 0{,}7 donc :
E(5 X_1) = 5 \times E(X_1)
E(5 X_1) = 5 \times 0{,}7

Et X_2 est une loi d'espérance E(X_2) = 0{,}5 , donc :
E(2 X_2) = 2 \times E(X_2)
E(2 X_2) = 2 \times 0{,}5

Ainsi :
E(5 X_1 + 2 X_2) = 5 \times E(X_1) + 2 \times E(X_2)
E(5 X_1 + 2 X_2) = 5 \times 0{,}7 + 2 \times 0{,}5

Pour calculer l'espérance d'une somme de variable aléatoire, on calcule la somme des espérances.

On a donc :
E(-5 X_1 + 3 X_2) = E(-5 X_1) + E(3 X_2)

Or, par la linéarité de l'espérance, on peut sortir le scalaire de l'espérance.

Ici, X_1 est une loi d'espérance E(X_1) = 0{,}4 donc :
E(-5 X_1) = -5 \times E(X_1)
E(-5 X_1) = -5 \times 0{,}4

Et X_2 est une loi d'espérance E(X_2) = 0{,}8 , donc :
E(3 X_2) = 3 \times E(X_2)
E(3 X_2) = 3 \times 0{,}8

Ainsi :
E(-5 X_1 + 3 X_2) = -5 \times E(X_1) + 3 \times E(X_2)
E(-5 X_1 + 3 X_2) = -5 \times 0{,}4 + 3 \times 0{,}8

Pour calculer l'espérance d'une somme de variable aléatoire, on calcule la somme des espérances.

On a donc :
E(3 X_1 + 3 X_2) = E(3 X_1) + E(3 X_2)

Or, par la linéarité de l'espérance, on peut sortir le scalaire de l'espérance.

Ici, X_1 est une loi d'espérance E(X_1) = 0{,}9 donc :
E(3 X_1) = 3 \times E(X_1)
E(3 X_1) = 3 \times 0{,}9

Et X_2 est une loi d'espérance E(X_2) = 0{,}2 , donc :
E(3 X_2) = 3 \times E(X_2)
E(3 X_2) = 3 \times 0{,}2

Ainsi :
E(3 X_1 + 3 X_2) = 3 \times E(X_1) + 3 \times E(X_2)
E(3 X_1 + 3 X_2) = 3 \times 0{,}9 + 3 \times 0{,}2

Pour calculer l'espérance d'une somme de variable aléatoire, on calcule la somme des espérances.

On a donc :
E(-3 X_1 + 6 X_2) = E(-3 X_1) + E(6 X_2)

Or, par la linéarité de l'espérance, on peut sortir le scalaire de l'espérance.

Ici, X_1 est une loi d'espérance E(X_1) = 0{,}1 donc :
E(-3 X_1) = -3 \times E(X_1)
E(-3 X_1) = -3 \times 0{,}1

Et X_2 est une loi d'espérance E(X_2) = 0{,}3 , donc :
E(6 X_2) = 6 \times E(X_2)
E(6 X_2) = 6 \times 0{,}3

Ainsi :
E(-3 X_1 + 6 X_2) = -3 \times E(X_1) + 6 \times E(X_2)
E(-3 X_1 + 6 X_2) = -3 \times 0{,}1 + 6 \times 0{,}3