Soient X_1, \cdots, X_n des variables aléatoires indépendantes qui suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre p .
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X_1 ?
X_1 suit une loi de Bernoulli de paramètre p .
Ainsi, son espérance vaut la probabilité de succès p : E(X_1)= p .
Quelle est l'espérance de la somme des variables aléatoires X_n ?
Les variables aléatoires sont identiques donc elles ont toutes la même espérance.
Comme E(X_1)= p , on a :
E(X_i) = p pour tout i \in \{1,\dots,n\}
Or, l'espérance de la somme de variables aléatoires indépendantes est la somme des espérances des variables aléatoires.
Donc :
E\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n E\left( X_i \right)
E\left(\sum_{i=1}^n X_i \right)= \sum_{i=1}^n p
Ainsi, E\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = np .
Quelle est l'espérance de la moyenne M_n des variables aléatoires X_n ?
On a :
E(M_n) = E\left( \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_n \right)
Or, l'espérance est linéaire donc on peut rentrer l'espérance dans la somme :
E(M_n) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left( X_n \right)
Et on sait que E(X_i) = p pour tout i \in \{1,\dots,n\} donc :
E(M_n) = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n p
E[M_n] = \dfrac{1}{n} np
Ainsi, E(M_n) = p .