Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\{2\} par f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x-2}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
On détermine la limite de f en +\infty et en -\infty .
Pour x au voisinage de +\infty , on a : f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x-2}=\dfrac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}=\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}.
Or \lim\limits_{x\to +\infty } 2+\dfrac{1}{x}=2 et \lim\limits_{x\to +\infty } 1-\dfrac{2}{x}=1, donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}=2.
De même, \lim\limits_{x\to-\infty } \dfrac{2x+1}{x-2}=2.
Ainsi \lim\limits_{x\to+\infty }f\left(x\right)=2 et \lim\limits_{x\to-\infty }f\left(x\right)=2
\mathcal{C}_f admet comme asymptote horizontale la droite d'équation y=2.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{2x^3}{x^2+1}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
Déterminons la limite de f en +\infty :
On est en présence d'une forme indéterminée du type " \dfrac{\infty }{\infty } ". Pour lever cette indétermination, on factorise au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré. On a ainsi :
\dfrac{2x^3}{x^2+1}=\dfrac{2x^3}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{2x}{1+\dfrac{1}{x^2}}
Or :
- \lim\limits_{x\to+\infty } 2x=+\infty .
- \lim\limits_{x\to+\infty }1+\dfrac{1}{x^2}=1.
Donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{2x}{1+\dfrac{1}{x^2}}=+\infty .
En procédant de même, on obtient \lim\limits_{x\to-\infty } \dfrac{2x^3}{x^2+1}=-\infty .
Ainsi \mathcal{C}_f n'admet pas d'asymptote horizontale.
\mathcal{C}_f n'admet pas d'asymptote horizontale.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{1-3x^2}{3x^2+7}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
On détermine la limite de f en +\infty et en -\infty .
Pour x au voisinage de +\infty , on a : f\left(x\right)=\dfrac{1-3x^2}{3x^2+7}=\dfrac{x^2\left(\dfrac{1}{x^2}-3\right)}{x^2\left(3+\dfrac{7}{x^2}\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{x^2}-3}{3+\dfrac{7}{x^2}}.
Or \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{1}{x^2}-3=-3 et \lim\limits_{x\to +\infty } 3+\dfrac{7}{x^2}=3, donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{\dfrac{1}{x^2}-3}{3+\dfrac{7}{x^2}}=-1.
De même, \lim\limits_{x\to-\infty } \dfrac{1-3x^2}{3x^2+7}=-1.
Ainsi \mathcal{C}_f admet comme asymptote horizontale la droite d'équation y=-1.
\mathcal{C}_f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=-1.
Soit f la fonction définie sur \left]2;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\dfrac{7-5x}{x^2-4}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
On détermine la limite de f en +\infty .
Pour x au voisinage de +\infty , on a : f\left(x\right)=\dfrac{7-5x}{x^2-4}=\dfrac{x\left(\dfrac{7}{x}-5\right)}{x^2\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)}=\dfrac{\dfrac{7}{x}-5}{x\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)}.
Or \lim\limits_{x\to +\infty } 1-\dfrac{4}{x^2}=1, et de plus \lim\limits_{x\to +\infty }x=+\infty , donc par produit \lim\limits_{x\to+\infty } x\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)=+\infty .
De plus, \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{7}{x}-5=-5.
Donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{\dfrac{7}{x}-5}{x\left(1-\dfrac{4}{x^2}\right)}=0.
Ainsi \mathcal{C}_f admet bien comme asymptote horizontale la droite d'équation y=0.
\mathcal{C}_f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=0.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{3+2x^3}{5x^2+1}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
On détermine la limite de f en +\infty et en -\infty :
Pour x au voisinage de +\infty , on a : f\left(x\right)=\dfrac{3+2x^3}{5x^2+1}=\dfrac{x^3\left(\dfrac{3}{x^3}+2\right)}{x^2\left(5+\dfrac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{x\left(\dfrac{3}{x^3}+2\right)}{5+\dfrac{1}{x^2}}.
Or \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{3}{x^3}+2=2, et de plus \lim\limits_{x\to +\infty }x=+\infty , donc par produit \lim\limits_{x\to+\infty } x\left(\dfrac{3}{x^3}+2\right)=+\infty .
De plus, \lim\limits_{x\to+\infty } 5+\dfrac{1}{x^2}=5.
Donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{x\left(\dfrac{3}{x^3}+2\right)}{5+\dfrac{1}{x^2}}=+\infty \\.
De plus, \lim\limits_{x\to-\infty } \dfrac{3+2x^3}{5x^2+1}=-\infty .
Ainsi \mathcal{C}_f n'admet pas d'asymptote horizontale.
\mathcal{C}_f n'admet pas d'asymptote horizontale.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac12\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-3-5x}{2x+1}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
On détermine la limite de f en +\infty et en -\infty :
Pour x au voisinage de +\infty , on a : f\left(x\right)=\dfrac{-3-5x}{2x+1}=\dfrac{x\left(\dfrac{-3}{x}-5\right)}{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}=\dfrac{\dfrac{-3}{x}-5}{2+\dfrac{1}{x}}.
Or :
- \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{-3}{x}-5=-5.
- \lim\limits_{x\to+\infty } 2+\dfrac{1}{x}=2.
Donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty } \dfrac{\dfrac{-3}{x}-5}{2+\dfrac{1}{x}}=-\dfrac52.
De plus, \lim\limits_{x\to-\infty } \dfrac{-3-5x}{2x+1}=-\dfrac52.
Ainsi \mathcal{C}_f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=-\dfrac52.
\mathcal{C}_f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=-\dfrac52.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}\setminus\{-1\} par f\left(x\right)=3+\dfrac{2}{x+1}.
\mathcal{C}_f admet-elle une asymptote horizontale ?
On détermine la limite de f en +\infty et en -\infty :
Or \lim\limits_{x\to +\infty }x+1=+\infty , donc \lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{2}{x+1}=0. Ainsi par somme \lim\limits_{x\to+\infty } f\left(x\right)=3.
On démontre de la même manière que \lim\limits_{x\to-\infty } f\left(x\right)=3.
Ainsi \mathcal{C}_f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=3.
\mathcal{C}_f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y=3.