On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{-4;8\} par f\left(x\right)=3-2x+\dfrac{1-5x+7x^2}{x^2-4x-32}.
\mathcal{C}_f admet-elle des asymptotes verticales ?
Si \mathcal{C}_f admet des asymptotes verticales, elles ont nécessairement pour équations x = -4 et x = 8 (car -4 et 8 sont les valeurs interdites de f)
- Limite en -4 :
On a \lim\limits_{x\to \left(-4\right)^{-}} \left(x^2-4x-32\right)=0^+ et \lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-} \left(1-5x+7x^2\right)=133, donc par quotient \lim\limits_{x\to \left(-4\right)^{-}} \left(\dfrac{1-5x+7x^2}{x^2-4x-32}\right)=+\infty.
De plus, \lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-} \left(3-2x\right)=11, donc finalement par somme, \lim\limits_{x\to\left(-4\right)^-}f\left(x\right)=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to \left(-4\right)^{+}} f\left(x\right)=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x = -4.
- Limite en 8 :
On a \lim\limits_{x\to 8^{-}} \left(x^2-4x-32\right)=0^- et \lim\limits_{x\to8^-} \left(1-5x+7x^2\right)=409, donc par quotient \lim\limits_{x\to 8^{-}} \left(\dfrac{1-5x+7x^2}{x^2-4x-32}\right)=-\infty.
De plus, \lim\limits_{x\to8^-} \left(3-2x\right)=-13, donc finalement par somme, \lim\limits_{x\to8^-}f\left(x\right)=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to 8^{+}} f\left(x\right)=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x = 8.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet comme asymptotes verticales les droites d'équation x = -4 et x = 8.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\{0\} par f\left(x\right)=\dfrac{1-3x}{x^9}.
Quelle proposition démontre que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale ?
Si \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale, elle a nécessairement pour équation x = 0 (car 0 est la valeur interdite de f)
\mathcal{C}_f admet une asymptote verticale si et seulement si \lim\limits_{x\to 0} f\left(x\right)=+\infty ou \lim\limits_{x\to 0} f\left(x\right)=-\infty
- Limite en 0- :
On a \lim\limits_{x\to 0^{-}} x^9=0^- et \lim\limits_{x\to 0^{-}} \left(1-3x\right)=1, donc par quotient \lim\limits_{x\to 0^{-}} \left(\dfrac{1-3x}{x^9}\right)=-\infty.
- Limite en 0^{+} :
On a \lim\limits_{x\to 0^{+}} x^9=0^+ et \lim\limits_{x\to 0^{+}} \left(1-3x\right)=1, donc par quotient \lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( \dfrac{1-3x}{x^9}\right)=+\infty.
On en déduit que \mathcal{C}_f admet une asymptote verticale d'équation x=0.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac12\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{2x-1}.
À quelle équation correspond la droite admise comme asymptote verticale par \mathcal{C}_f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-3\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-2x+5}{\dfrac13x+1}.
À quelle équation correspond la droite admise comme asymptote verticale par \mathcal{C}_f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\sqrt{5}\right\} par f\left(x\right)=2-9x+\dfrac{x}{x-\sqrt{5}}.
À quelle équation correspond la droite admise comme asymptote verticale par \mathcal{C}_f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{\sqrt3}{3}\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-1}{3x-\sqrt3}.
À quelle équation correspond la droite admise comme asymptote verticale par \mathcal{C}_f ?
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-1;1\right\} par f\left(x\right)=1-\dfrac{3-5x}{x^2-1}.
À quelles équations correspond la droite admise comme asymptote verticale par \mathcal{C}_f ?