On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=2+\dfrac{4}{x-\sqrt{3}}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \sqrt{3} \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \sqrt{3}^{+} et en \sqrt{3}^{-}.
Limites en l'infini
On a \lim\limits_{x\to+\infty} x-\sqrt{3}=+\infty, donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x-\sqrt{3}}=0, et ainsi \lim\limits_{x\to+\infty} 2+\dfrac{4}{x-\sqrt{3}}=2.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} 2+\dfrac{4}{x-\sqrt{3}}=2
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote horizontale la droite d'équation y=2.
Limites en \sqrt{3}
On a \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}} x-\sqrt{3}=0^+, donc par quotient \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}}\dfrac{2}{x-\sqrt{3}}=+\infty, et ainsi \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}} 2+\dfrac{4}{x-\sqrt{3}}=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{-}} 2+\dfrac{4}{x-\sqrt{3}}=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=\sqrt{3}.
\mathcal{C}_f admet comme asymptotes les droites d'équation x=\sqrt{3} et y=2.
On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{3x-2}{4x+1}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac14 \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \left(-\dfrac14\right)^+ et en \left(-\dfrac14\right)^-.
Limites en l'infini
On étudie cette limite par factorisation forcée. On a :
\dfrac{3x-2}{4x+1}=\dfrac{x\left(3-\dfrac2x\right)}{x\left(4+\dfrac1x\right)}=\dfrac{3-\dfrac2x}{4+\dfrac1x}
Ainsi, \lim\limits_{x\to+\infty} 3-\dfrac2x=3 et \lim\limits_{x\to+\infty} 4+\dfrac1x=4 donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{4x+1}=\dfrac34.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{3x-2}{4x+1}=\dfrac34.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote horizontale la droite d'équation y=\dfrac34.
Limites en -\dfrac14
On a \lim\limits_{x\to\left(-\frac14\right)^{+}} 4x+1=0^- et \lim\limits_{x\to\left(-\frac14\right)^+} 3x-2=-\dfrac{11}{4} donc par quotient \lim\limits_{x\to\left(-\frac14\right)^{+}}\dfrac{3x-2}{4x+1}=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\left(-\frac14\right)^{-}}\dfrac{3x-2}{4x+1}=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=-\dfrac14.
\mathcal{C}_f admet comme asymptotes les droites d'équation x=-\dfrac14 et y=\dfrac34.
On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=2-3x-\dfrac1{2x-5}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac52 \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \left(\dfrac52\right)^{+} et en \left(\dfrac52\right)^-.
Limites en l'infini
On a \lim\limits_{x\to+\infty} 2x-5=+\infty, donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2x-5}=0.
De plus \lim\limits_{x\to+\infty} 2-3x=-\infty. Donc par somme \lim\limits_{x\to+\infty} f\left(x\right)=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} f\left(x\right)=+\infty.
\mathcal{C}_f n'admet donc pas d'asymptote horizontale.
Limites en \dfrac52
On a \lim\limits_{x\to\left(\frac52\right)^{+}} 2x-5=0^+, donc par quotient \lim\limits_{x\to\left(\frac52\right)^{+}}-\dfrac{1}{2x-5}=-\infty.
De plus :
\lim\limits_{x\to\left(\frac52\right)^{+}} 2-3x=-\dfrac{11}2.
Donc par somme :
\lim\limits_{x\to\left(\frac52\right)^{+}} f\left(x\right)=-\infty.
De la même manière, on démontre que :
\lim\limits_{x\to\left(\frac52\right)^-} f\left(x\right)=+\infty
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=\dfrac52.
\mathcal{C}_f admet comme asymptote la droite d'équation x=\dfrac52.
On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{5x^2+4}{x^2-1}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -1;1 \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \left(-1\right)^{+}, \left(-1\right)^-, 1^+ et en 1^{-}.
Limites en l'infini
On étudie cette limite par factorisation forcée. On a :
\dfrac{5x^2+4}{x^2-1}=\dfrac{x^2\left(5+\dfrac4{x^2}\right)}{x^2\left(1-\dfrac1{x^2}\right)}=\dfrac{5+\dfrac4{x^2}}{1-\dfrac1{x^2}}
Ainsi, \lim\limits_{x\to+\infty} 5+\dfrac4{x^2}=5 et \lim\limits_{x\to+\infty} 1-\dfrac1{x^2}=1 donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{5+\dfrac4{x^2}}{1-\dfrac1{x^2}}=5.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{5x^2+4}{x^2-1}=5.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote horizontale la droite d'équation y=5.
Limites en -1
On a \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+} x^2-1=0^- et \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}5x^2+4=9, donc par quotient \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^+}\dfrac{5x^2+4}{x^2-1}=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\left(-1\right)^-} \dfrac{5x^2+4}{x^2-1}=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=-1.
Limites en 1
On a \lim\limits_{x\to1^+} x^2-1=0^+ et \lim\limits_{x\to1^+}5x^2+4=9, donc par quotient \lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{5x^2+4}{x^2-1}=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{5x^2+4}{x^2-1}=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=1.
\mathcal{C}_f admet comme asymptotes les droites d'équation x = -1, x = 1 et y = 5.
On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=2x+3+\dfrac{4-x}{x^2+x+1}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R} car aucune valeur de x n'annule le dénominateur (en effet, \Delta\left(x^2+x+1\right)=1^2-4\times1\times1=-3<0 ). Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty et en +\infty.
On a \lim\limits_{x\to+\infty}2x+3=+\infty.
On lève la forme indéterminée de la fraction en factorisant :
\dfrac{4-x}{x^2+x+1}=\dfrac{x\left(\dfrac4x-1\right)}{x^2\left(1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\right)}=\dfrac{\dfrac4x-1}{x\left(1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\right)}
On a :
- \lim\limits_{x\to+\infty}1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}=1.
- \lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty.
Donc par produit \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\right)=+\infty.
De plus \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac4x-1=-1.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac4x-1}{x\left(1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\right)}=0.
Ainsi, par somme, on obtient \lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty.
\mathcal{C}_f n'admet donc pas d'asymptotes, ni horizontale, ni verticale.
On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{4-3x}{x^2-2}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\sqrt2;\sqrt2 \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \left(-\sqrt2\right)^+, \left(-\sqrt2\right)^-, \sqrt2^+ et en \sqrt2^-.
Limites en l'infini
On étudie cette limite par factorisation forcée. On a :
\dfrac{4-3x}{x^2-2}=\dfrac{x\left(\dfrac4x-3\right)}{x^2\left(1-\dfrac2{x^2}\right)}=\dfrac{\dfrac4x-3}{x\left(1-\dfrac2{x^2}\right)}
Ainsi, on a :
- \lim\limits_{x\to+\infty} 1-\dfrac2{x^2}=1.
- \lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty.
Donc par produit \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\dfrac2{x^2}\right)=+\infty.
De plus, \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac4x-3=-3.
Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac4x-3}{x\left(1-\dfrac2{x^2}\right)}=0.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{4-3x}{x^2-2}=0.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote horizontale la droite d'équation y=0.
Limites en -\sqrt2
On a \lim\limits_{x\to\left(-\sqrt2\right)^-} x^2-2=0^+, et \lim\limits_{x\to\left(-\sqrt2\right)^-}4-3x=4+3\sqrt2, donc par quotient \lim\limits_{x\to\left(-\sqrt2\right)^-}\dfrac{4-3x}{x^2-2}=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\left(-\sqrt2\right)^+} \dfrac{4-3x}{x^2-2}=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=-\sqrt2.
Limites en \sqrt2
On a \lim\limits_{x\to\sqrt2^-} x^2-2=0^-, et \lim\limits_{x\to\sqrt2^-}4-3x=4-3\sqrt2, donc par quotient \lim\limits_{x\to\sqrt2^-}\dfrac{4-3x}{x^2-2}=+\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\sqrt2^+} \dfrac{4-3x}{x^2-2}=-\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=\sqrt2.
\mathcal{C}_f admet comme asymptotes les droites d'équation x=-\sqrt2, x=\sqrt2 et y=0.
On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=-1-\dfrac{3x}{6x-2}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ \dfrac13 \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \left(\dfrac13\right)^+ et en \left(\dfrac13\right)^-.
Limites en l'infini
On étudie cette limite par factorisation forcée. On a
\dfrac{3x}{6x-2}=\dfrac{3x}{x\left(6-\dfrac2{x}\right)}=\dfrac{3}{6-\dfrac2{x}}
Ainsi, on a, \lim\limits_{x\to+\infty} 6-\dfrac2x=6. Donc par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{6-\dfrac2x}=\dfrac12.
Donc finalement par somme \lim\limits_{x\to+\infty}-1-\dfrac{3}{6-\dfrac2x}=-\dfrac32.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} -1-\dfrac{3x}{6x-2}=-\dfrac32.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote horizontale la droite d'équation y=-\dfrac32.
Limites en \dfrac13
On a \lim\limits_{x\to\left(\frac13\right)^+} 6x-2=0^+, et \lim\limits_{x\to\left(\frac13\right)^+}3x=1, et ainsi par quotient \lim\limits_{x\to\left(\frac13\right)^+} \dfrac{3x}{6x-2}=+\infty. Ainsi par somme \lim\limits_{x\to\left(\frac13\right)^+} -1-\dfrac{3x}{6x-2}=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\left(\frac13\right)^-} -1-\dfrac{3x}{6x-2}=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=\dfrac13.
\mathcal{C}_f admet comme asymptotes les droites d'équation x=\dfrac13 et y=-\dfrac32.