On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=-3x-7-\dfrac{1-4x}{x^2-9}. On note \mathcal{C}_f la courbe représentative de f.
Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à \mathcal{C}_f ?
La fonction f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -3;3 \right\}. Pour déterminer les éventuelles asymptotes de f, on calcule donc les limites de f en -\infty, +\infty, en \left(-3\right)^{+}, \left(-3\right)^- , 3^+ et en 3^-.
Limites en l'infini
On a \lim\limits_{x\to+\infty} -3x-7=-\infty.
On étudie la limite du quotient par factorisation forcée. On a :
\dfrac{1-4x}{x^2-9}=\dfrac{x\left(\dfrac1x-4\right)}{x^2\left(1-\dfrac9{x^2}\right)}=\dfrac{\dfrac1x-4}{x\left(1-\dfrac9{x^2}\right)}
Ainsi, on a :
- \lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty.
- \lim\limits_{x\to+\infty} 1-\dfrac9{x^2}=1.
Donc par produit, \lim\limits_{x\to+\infty}x\left(1-\dfrac9{x^2}\right)=+\infty.
De plus, \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac1x-4=-4. Donc finalement par quotient \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac1x-4}{x\left(1-\dfrac9{x^2}\right)}=0.
Donc finalement par somme \lim\limits_{x\to+\infty}-3x-7-\dfrac{\dfrac1x-4}{x\left(1-\dfrac9{x^2}\right)}=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to-\infty} -3x-7-\dfrac{1-4x}{x^2-9}=+\infty.
\mathcal{C}_f n'admet donc pas d'asymptote horizontale.
Limites en 3
On a \lim\limits_{x\to3^+} x^2-9=0^+, et \lim\limits_{x\to3^+}1-4x=-11, donc par quotient \lim\limits_{x\to3^{+}}\dfrac{1-4x}{x^2-9}=-\infty.
De plus, \lim\limits_{x\to3^+}-3x-7=-16, donc finalement par somme \lim\limits_{x\to3^+} -3x-7-\dfrac{1-4x}{x^2-9}=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to3^-} -3x-7-\dfrac{1-4x}{x^2-9}=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=3.
Limites en -3
On a \lim\limits_{x\to\left(-3\right)^+} x^2-9=0^-, et \lim\limits_{x\to\left(-3\right)^+}1-4x=13, donc par quotient \lim\limits_{x\to\left(-3\right)^{+}}\dfrac{1-4x}{x^2-9}=-\infty.
De plus, \lim\limits_{x\to3^+}-3x-7=2, donc finalement par somme \lim\limits_{x\to\left(-3\right)^+} -3x-7-\dfrac{1-4x}{x^2-9}=-\infty.
De la même manière, on démontre que \lim\limits_{x\to\left(-3\right)^-} -3x-7-\dfrac{1-4x}{x^2-9}=+\infty.
\mathcal{C}_f admet donc comme asymptote verticale la droite d'équation x=-3.
\mathcal{C}_f admet comme asymptotes les droites d'équation x=-3 et x=3.
Quelles asymptotes la représentation graphique de la fonction f définie par f\left(x\right)=1-\dfrac{6}{2x-9} admet-elle ?
Quelles asymptotes la représentation graphique de la fonction f définie par f\left(x\right)=-\dfrac{4x-1}{x+1} admet-elle ?
Quelles asymptotes la représentation graphique de la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{3}{x^2+1} admet-elle ?
Quelles asymptotes la représentation graphique de la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac{2x^2-3}{x^2-4} admet-elle ?
Quelles asymptotes la représentation graphique de la fonction f définie par f\left(x\right)=1+x+\dfrac{2}{x-1} admet-elle ?