Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{5x^3+\sin\left(x\right)}{x^3-1}
La fonction sinus étant bornée sur \mathbb{R}, on peut dire que, pour tout nombre réel x :
-1\leq \sin\left(x\right) \leq 1
Ainsi :
5x^3-1\leq 5x^3+\sin\left(x\right) \leq 5x^3+1
Or, au voisinage de +\infty , \dfrac{1}{x^3-1}>0. Donc, en multipliant par \dfrac{1}{x^3-1}, on obtient :
\dfrac{5x^3-1}{x^3-1}\leq \dfrac{5x^3+\sin\left(x\right)}{x^3-1} \leq \dfrac{5x^3+1}{x^3-1}
Or :
- \dfrac{5x^3-1}{x^3-1}=\dfrac{x^3\left(5-\dfrac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1-\dfrac{1}{x^3}\right)}=\dfrac{5-\dfrac{1}{x^3}}{1-\dfrac{1}{x^3}}. Ainsi, comme \lim\limits_{x\to+\infty }5-\dfrac{1}{x^3}=5, et que \lim\limits_{x\to+\infty }1-\dfrac{1}{x^3}=1, par quotient on obtient \lim\limits_{x\to-\infty }\dfrac{5-\dfrac{1}{x^3}}{1-\dfrac{1}{x^3}}=5.
- De la même manière on obtient \lim\limits_{x\to+\infty }\dfrac{5x^3+1}{x^3-1}=5.
Donc d'après le théorème des gendarmes :
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{5x^3+\sin\left(x\right)}{x^3-1}=5
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{3x-1}{\cos\left(x\right)-3x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{x^2+\sin\left(3x^2-4x\right)}{2x^2-1}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{-x^3+5x}{\cos\left(2x\right)-10x^3}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to -\infty } \dfrac{-x+5\sin\left(x^2\right)}{1-2x^2}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{-3x+\dfrac{1}{2}\cos\left(3x-4\right)}{4x+7}