Quelle proposition montre que pour tout x \in \mathbb{R} - \left\{ -5 \right\}, \dfrac{x^2+x-20}{x+5}=x-4 ?
On remarque que pour tout x \in \mathbb{R} - \left\{ -5 \right\}, on a :
\left(x-4\right)\left(x+5\right)=x^2-4x+5x-20=x^2+x-20
Ainsi,
\dfrac{x^2+x-20}{x+5}=\dfrac{\left(x+5\right)\left(x-4\right)}{x+5}=x-4
\forall x \in \mathbb{R} - \left\{ -5; 4 \right\}, \dfrac{x^2+x-20}{x+5}=x-4.
Par déduction, quelle est la valeur de A=\int_{-2}^{0} \dfrac{x^2+x-20}{x+5} \ \mathrm dx ?
Transformation de l'intégrale
On sait que :
\forall x \in \mathbb{R} - \left\{ -5; \right\}, \dfrac{x^2+x-20}{x+5}=x-4.
Ainsi :
A=\int_{-2}^{0} \dfrac{x^2+x-20}{x+5} \ \mathrm dx = \int_{-2}^{0} x-4 \ \mathrm dx
Calcul de \int_{-2}^{0} x-4 \ \mathrm dx
On a :
\int_{-2}^{0} x-4 \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} - 4x \right]_{-2}^{0}
\int_{-2}^{0} x-4 \ \mathrm dx = 0 - \left(\dfrac{4}{2}+8\right)
\int_{-2}^{0} x-4 \ \mathrm dx = -10
A=-10