Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

On sait que :

\forall x \geqslant 0 , \dfrac{x^2+2x+1}{x^2+4x+5}=1-\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}.

Ainsi :

A=\int_{1}^{2}\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx=\int_{1}^{2} 1-\dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

A=\int_{1}^{2} 1 \ \mathrm dx- \int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx

A=\left[ x \right]_{1}^{2}- \int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx

A=2-1- \int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx

A=1- \int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx

On pose, pour tout réel x, f\left(x\right)= \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5}

On détermine F une primitive de f.

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2+4x+5.

On a f=\dfrac{u'}{u}, donc F=\ln\left| u \right|.

Et, comme pour tout réel x, u\left(x\right)\gt0, F=\ln\left(u\right)

Ainsi, pour tout réel x, F\left(x\right)=\ln\left(x^2+4x+5\right)

On calcule alors :

\int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(x^2+4x+5\right)\right]_{1}^{2}

\int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx= \ln \left(4+8+5\right)-\ln\left(1+4+5\right)

\int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx= \ln \left(17\right)-\ln\left(10\right)

A=1- \int_{1}^{2} \dfrac{2x+4}{x^2+4x+5} \ \mathrm dx

A=1-\left( \ln \left(17\right)-\ln\left(10\right)\right)

A=1- \ln \left(17\right)+\ln\left(10\right)

Or, on sait que lna-lnb=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right), d'où :

A=1+\ln\left(\dfrac{10}{17}\right)