Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

On sait que :

\forall x \geqslant 0 , , \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1}=1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}.

Ainsi :

A=\int_{0}^{ln2} \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1} \ \mathrm dx=\int_{0}^{ln2} 1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

A=\int_{0}^{ln2} 1 \ \mathrm dx+\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx

A=\left[ x \right]_{0}^{ln2} + \int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx

A=ln2+\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx

On pose, pour tout réel x, f\left(x\right)= \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}

On détermine F une primitive de f.

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^x+2x+1.

On a f=\dfrac{u'}{u}, donc F=\ln\left| u \right|.

Et, comme pour tout réel x, u\left(x\right)\gt0, F=\ln\left(u\right)

Ainsi, pour tout réel x, F\left(x\right)=\ln\left(e^x+2x+1\right)

On calcule alors :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx=\left[ \ln\left(e^x+2x+1\right) \right]_{0}^{ln2}

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx = \ln\left(e^{ln2}+2\left(ln2\right)+1\right)-\ln\left(e^{0}+1\right)

Et, comme e^{ln2}=2 et e^0=1 :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx = \ln\left(3+2\left(ln2\right)\right)-\ln\left(2\right)

A=ln2+\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}\ \mathrm dx

A=\ln\left(2\right)+ \ln\left(3+2\left(ln2\right)\right)-\ln\left(2\right)

A= \ln\left(3+2\left(ln2\right)\right)

A= \ln\left(3+2ln2\right)