Quelle proposition montre que pour tout réel x \geqslant 0, \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1}=1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1} ?

On part du membre de droite. Pour tout réel x \geqslant 0, on a :

1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1} = \dfrac{e^x+2x+1}{e^x+2x+1}+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}

1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1} = \dfrac{e^x+2x+1+e^x+2}{e^x+2x+1}

1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}= \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1}

\forall x \geqslant 0, \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1}=1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}.

Pour tout réel x \geqslant 0, on a :

1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1} = \dfrac{e^x+2x+1}{e^x+2x+1}+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}

1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1} = \dfrac{e^x+2x+1+e^x+2}{e^x+2x+1}

1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}= \dfrac{2x+3}{e^x+2x+1}

\forall x \geqslant 0, \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1}=1+\dfrac{e^x+2}{e^x+2x+1}.

Par déduction, quelle est la valeur de A=\int_{0}^{ln2} \dfrac{2e^x+2x+3}{e^x+2x+1} \ \mathrm dx ?

A= \ln\left(3+2\left(ln2\right)\right)

A= \ln\left(3-2\left(ln2\right)\right)

A= \ln\left(2+2\left(ln3\right)\right)

A= \ln\left(2-2\left(ln3\right)\right)