Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

On sait que :

x \in \mathbb{R} - \left\{ 3; 5 \right\}, \dfrac{-2x+2}{x^2-8x+15}=\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{4}{x-5}.

Ainsi :

A=\int_{-1}^{1} \dfrac{-2x+2}{x^2-8x+15}\ \mathrm dx=\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3}-\dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

A=\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3} \ \mathrm dx-\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx

On pose, pour tout réel x \in \mathbb{R} - \left\{ 3; 5 \right\} , f\left(x\right)=\dfrac{2}{x-3}

On détermine F une primitive de f.

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x-3.

On a f=2\dfrac{u'}{u}, donc F=2\ln\left| u \right|.

Et, comme pour tout réel x \in \mathbb{R} - \left\{ 3; 5 \right\}, u\left(x\right)\lt0, F=2\ln\left(-u\right)

Ainsi, pour tout réel x \in \mathbb{R} - \left\{ 3; 5 \right\}, F\left(x\right)=2\ln\left(-x+3\right)

On calcule alors :

\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3} \ \mathrm dx=\left[ 2\ln\left(-x+3\right) \right]_{-1}^{1}

\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3} \ \mathrm dx=2\ln\left(2\right)-2\ln\left(4\right)

De même,

\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx=\left[ 4\ln\left(-x+5\right) \right]_{-1}^{1}

\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx=4\ln\left(4\right)-4\ln\left(6\right)

Ainsi,

\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3} \ \mathrm dx-\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx = 2ln2 - 2ln4 - \left(4ln4-4ln6\right)

\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3} \ \mathrm dx-\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx = ln4 - 2ln4 - 4ln4 +4ln6

\int_{-1}^{1} \dfrac{2}{x-3} \ \mathrm dx-\int_{-1}^{1} \dfrac{4}{x-5} \ \mathrm dx = 4ln6 - 5ln4