Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

On sait que :

\forall x \in \mathbb{R}, \dfrac{3e^x-e^{-x}+1}{e^{-x}+3}=e^x+\dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3}.

Ainsi :

A=\int_{0}^{ln3} \dfrac{3e^x-e^{-x}+1}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx=\int_{0}^{ln3} e^x+\dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

A=\int_{0}^{ln3} e^x \ \mathrm dx+\int_{0}^{ln3} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

A=\left[ e^x \right]_{0}^{ln3}+\int_{0}^{ln3} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

A= e^{\left(ln3\right)} - e^0+\int_{0}^{ln3} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

A= 3-1+\int_{0}^{ln3} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

A= 2 +\int_{0}^{ln3} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

On pose, pour tout réel x, f\left(x\right)=\dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3}

On détermine F une primitive de f.

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)= e^{-x}+3.

On a f=\dfrac{u'}{u}, donc F=\ln\left| u \right|.

Et, comme pour tout réel x, u\left(x\right)\gt0, F=\ln\left(u\right)

Ainsi, pour tout réel x, F\left(x\right)=\ln\left(e^{-x}+3\right)

On calcule alors :

\int_{0}^{\ln\left(3\right)} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(e^{-x}+3\right)\right]_{0}^{ln3}

\int_{0}^{\ln\left(3\right)} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx= \ln\left(e^{-ln3}+3\right)-\ln\left(e^{-0}+3\right)

Et, comme e^{-ln3}=\dfrac{1}{3} et e^0=1 :

\int_{0}^{\ln\left(3\right)} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx= \ln\left(\dfrac{10}{3}\right)-\ln\left(4\right)

A= 2 +\int_{0}^{ln3} \dfrac{-e^{-x}}{e^{-x}+3} \ \mathrm dx

A= 2 + \ln \left(\dfrac{10}{3}\right) - \ln\left(4\right)

Or, on sait que lna-lnb=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right), d'où :

A= 2 + \ln \left(\dfrac{10}{3\times4}\right) = 2 + \ln \left(\dfrac{5}{6}\right)