Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

On sait que :

\forall x \in \mathbb{R} - \left\{ \dfrac{3}{2 }; 2 \right\}, \dfrac{4}{2x-3}-\dfrac{1}{x-2} = \dfrac{2x-5}{2x^2-7x+6}..

Ainsi :

A=\int_{0}^{1} \dfrac{2x-5}{2x^2-7x+6} \ \mathrm dx=\int_{0}^{1} \dfrac{4}{2x-3}-\dfrac{1}{x-2} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

A=\int_{0}^{1} \dfrac{4}{2x-3} \ \mathrm dx-\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x-2} \ \mathrm dx

On pose, pour tout réel x, f\left(x\right)= \dfrac{4}{2x-3}

On détermine F une primitive de f.

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=2x-3.

On a f=\dfrac{2u'}{u}, donc F=2\ln\left| u \right|.

Et, comme pour tout réel x \in \left[0;1\right], 0\gt u\left(x\right), F=2\ln\left(-u\right)

Ainsi, pour tout réel x, F\left(x\right)=2\ln\left(-2x+3\right)

On calcule alors :

\int_{0}^{1} \dfrac{4}{2x-3} \ \mathrm dx=\left[ 2\ln\left(-2x+3\right) \right]_{0}^{1}

\int_{0}^{1} \dfrac{4}{2x-3} \ \mathrm dx= 2\ln\left(1\right) -2 \ln\left(3\right) \\

Et, comme \ln\left(1\right)=0 :

\int_{0}^{1} \dfrac{4}{2x-3} \ \mathrm dx=-2 \ln\left(3\right) \\

De même,

\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x-2} \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(-\left(x-2\right)\right) \right]_{0}^{1}

\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x-2} \ \mathrm dx= \ln\left(1\right)-\ln\left(2\right)

\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x-2} \ \mathrm dx=-\ln\left(2\right)

A=\int_{0}^{1} \dfrac{4}{2x-3} \ \mathrm dx-\int_{0}^{1} \dfrac{1}{x-2} \ \mathrm dx

A=-2\ln\left(3\right)-\left(-\ln\left(2\right)\right)

A=\ln\left(2\right)-2\ln\left(3\right)

Or, on sait que nln\left(a\right)=\ln\left(a^n\right), d'où :

A=\ln\left(2\right)-\ln\left(3^2\right)=\ln\left(2\right)-\ln\left(9\right)

Et, on sait que lna-lnb=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right), d'où :

A=\ln\left(\dfrac{2}{9}\right)