Quelle proposition montre que pour tout réel x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, \dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}=1+\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} ?
On part du membre de gauche. Pour tout réel x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, on a :
\dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} = \dfrac{\sin\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} + \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}
\dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} = 1+\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}
\forall x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, \dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}=1+\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}.
Par déduction, quelle est la valeur de A=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx ?
Transformation de l'intégrale
On sait que :
\forall x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, \dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}=1+\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}.
Ainsi :
A=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \ 1+\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx
Par linéarité de l'intégrale, on obtient :
A=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 \ \mathrm dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx
A=\left[ x \right]_{ \frac{\pi}{6}}^{ \frac{\pi}{3}} + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx
A = \dfrac{\pi}{6}+ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx
Calcul de \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx
On pose, pour tout réel x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, f\left(x\right)= \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}
On détermine F une primitive de f.
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=\sin\left(x\right).
On a f=\dfrac{u'}{u}, donc F=\ln\left| u \right|.
Et, comme pour tout réel x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, u\left(x\right)\gt0, F=\ln\left(u\right)
Ainsi, pour tout réel x \in \left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[, F\left(x\right)=\ln\left(\sin\left(x\right)\right)
On calcule alors :
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(\sin\left(x\right)\right) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx= \ln\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)-\ln\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx= \ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)
Calcul de A
A = \dfrac{\pi}{6} +\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} \ \mathrm dx
A= \dfrac{\pi}{6} + \ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)
Or, on sait que lna-lnb=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right), d'où :
A= \dfrac{\pi}{6} + \ln\left(\sqrt{3}\right)
A= \dfrac{\pi}{6} + \ln\left(\sqrt{3}\right)