Etudier deux suites imbriquées Problème

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Dernière modification : 29/10/2018 - Conforme au programme 2018-2019

Soient \left(u_n\right) et \left(v_n\right) les suites définies sur \mathbb{N} par :

\begin{cases} u_0=3\\ u_{n+1}=\dfrac{u_n+5v_n}{6} \end{cases} et \begin{cases} v_0=5\\ v_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6} \end{cases}

On cherche à déterminer une forme explicite de u_n et v_n.

On pose, pour tout entier naturel n :

w_n=u_n+v_n et x_n=v_n-u_n

Quelles sont les valeurs de u_1 et v_1 ?

u_1=\cfrac{14}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{10}{3}

u_1=\cfrac{4}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{1}{3}

u_1=\cfrac{-2}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{-4}{3}

u_1=\cfrac{-7}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{-5}{3}

u_1=\cfrac{u_0+5v_0}{6}\\u_1=\cfrac{3+5\times 5}{6}\\u_1=\cfrac{28}{6}=\cfrac{2\times14}{2\times 3}=\cfrac{14}{3}\\\\v_1=\cfrac{5u_0+v_0}{6}\\v_1=\cfrac{5\times3+5}{6}\\v_1=\cfrac{20}{6}=\cfrac{10\times2}{3\times 2}=\cfrac{10}{3}

u_1=\cfrac{14}{3}\text{ et } v_1=\cfrac{10}{3}

Quelle proposition montre que la suite \left(w_n\right) est constante ?

On a w_{0}=3+5=8 et w_{1}=\dfrac{14}{3}+\dfrac{10}{3}=\dfrac{24}{3}=8 alors la suite \left( w_{n}\right) est constante et w_n=8

On a w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=\dfrac{u_n+5v_n}{6}+\dfrac{5u_n+v_n}{6}=\dfrac{6u_n+6v_n}{6}=u_n+v_n=w_n donc la suite \left(w_n\right) est constante et w_n=8

On a w_{n+1}=u_{n+1}-v_{n+1}=\dfrac{u_n+5v_n}{6}-\dfrac{5u_n+v_n}{6}=\dfrac{-6u_n+6v_n}{6}=-u_n+v_n=w_n donc la suite \left(w_n\right) est constante et w_n=-\dfrac{4}{3}

On a w_{0}=3-5=-2 et w_{1}=\dfrac{14}{3}-\dfrac{10}{3}=\dfrac{-4}{3} alors la suite \left( w_{n}\right) est constante et w_n=\dfrac{-4}{3}

Pour tout n\in\mathbb{N}, on a :

w_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}\\w_{n+1}=\cfrac{u_n+5v_n}{6}+\cfrac{5u_n+v_n}{6}\\w_{n+1}=\cfrac{6u_n+6v_n}{6}\\w_{n+1}=u_n+v_n\\w_{n+1}=w_{n}

La suite \left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc bien constante.

Or :

w_{0}=u_0+v_0\\w_0=3+5=8

Donc w_0=8.

La suite \left(w_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est constante et pour tout entier naturel n, w_n=8.

Quelle proposition montre que la suite \left(x_n\right) est géométrique ?

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=-\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = -\dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2\left(- \dfrac{2}{3} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = \dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2\left( \dfrac{2}{3} \right)^n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=-\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = -\dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2+\left(- \dfrac{2}{3} \right)n, pour tout n\in \mathbb{N}.

x_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{5u_n+v_n}{6}-\dfrac{u_n+5v_n}{6}=\dfrac{4u_n-4v_n}{6}=\dfrac{4}{6}\times\left( u_n-v_n \right)=\dfrac{2}{3}\times x_n

donc la suite \left(x_n\right) est géométrique.

Sa raison est q = \dfrac{2}{3} et son premier terme est x_0=2.

Forme explicite: x_n=2+\left(\dfrac{2}{3} \right)n, pour tout n\in \mathbb{N}.

Pour tout entier naturel n, on a :

x_{n+1}=v_n-u_n\\x_{n+1}=\cfrac{5u_n+v_n}{6}-\left(\cfrac{u_n+5v_n}{6}\right)\\x_{n+1}=\cfrac{5u_n+v_n-u_n-5v_n}{6}\\x_{n+1}=\cfrac{4u_n-4v_n}{6}\\x_{n+1}=\cfrac{4\left(u_n-v_n\right)}{6}\\x_{n+1}=\cfrac{2}{3}\left(u_n-v_n\right)\\x_{n+1}=-\cfrac{2}{3}\left(v_n-u_n\right)\\x_{n+1}=-\cfrac{2}{3}x_n

La suite \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} est bien une suite géométrique de raison q=-\cfrac{2}{3} et de premier terme x_0 avec x_0=v_0-u_0=5-3=2.

Sa forme explicite est donnée par :

x_n=x_0\times q^n=2\times\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n

Quelles sont les formes explicites de u_n et v_n ?

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4+\left(\cfrac{2}{3}\right)^n.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)n\text{ et } v_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)n.

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n.

Déterminons la forme explicite de u_n :

pour tout entier naturel n, on a :

w_n-x_n=u_n+v_n-\left(v_n-u_n\right)\\w_n-x_n=u_n+v_n-v_n+u_n\\\\w_n-x_n=2u_n

Or, pour tout entier naturel on a :

w_n-v_n=8-2\times\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n

Donc :

w_n-x_n=2u_n\\ 8-2\times\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n=2u_n\\\cfrac{8-2\times\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n}{2}=u_n\\4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n=u_n

Déterminons à présent la forme explicite de v_n :

pour tout entier naturel n, on a :

w_n=u_n+v_n

Donc :

v_n=w_n-u_n\\v_n=8-\left(4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\right)\\v_n=8-4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\\v_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n

Pour tout entier naturel n, on a u_n=4-\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n\text{ et } v_n=4+\left(-\cfrac{2}{3}\right)^n.