ABC est un triangle et O le centre de son cercle circonscrit. A’ est le milieu du segment \left[BC\right], B’ celui de \left[CA\right] et C’ celui de \left[AB\right].
Soit H le point défini par : \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.
Quelle égalité relie les points A, H, O et A' ?
D'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}.
Or :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
Donc :
\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.
Et toujours d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'C}=2\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}
De plus A' est le milieu de \left[BC\right], on a alors :
\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}
Et on obtient :
\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}
\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}
Que représente le point H pour le triangle ABC ?
On montre que les droites \left(BC\right) et \left(AH\right) sont perpendiculaires
Comme \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}, les vecteurs \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{OA'} sont colinéaires et les droites \left(AH\right) et \left(OA’\right) sont parallèles.
De plus \left(OA’\right) est la médiatrice de \left[BC\right], donc \left(OA’\right) est perpendiculaire à \left(BC\right).
Par conséquent, \left(BC\right) et \left(AH\right) sont perpendiculaires.
\left(AH\right) est donc la hauteur issue de A du triangle ABC.
On montre que les droites \left(BH\right) et \left(AC\right) sont perpendiculaires
En reprenant la question 1, on peut montrer que \overrightarrow{BH}=2\overrightarrow{OB'}, et donc que les vecteurs \overrightarrow{BH} et \overrightarrow{OB'} sont colinéaires et les droites \left(BH\right) et \left(OB’\right) sont parallèles.
De plus \left(OB’\right) est la médiatrice de \left[AC\right], donc \left(OB’\right) est perpendiculaire à \left(AC\right).
Par conséquent, \left(AC\right) et \left(BH\right) sont perpendiculaires.
\left(BH\right) est donc la hauteur issue de B du triangle ABC.
H est alors le point d'intersection de \left(BH\right) et \left(AH\right) qui sont deux hauteurs du triangle ABC.
Donc H est l'orthocentre du triangle ABC.
Soit G le centre de gravité du triangle ABC.
Quelle égalité vectorielle relie les points O, G et H ?
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}
Or :
\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA'}
Donc :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OA'}
Et toujours d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{OG}+2\overrightarrow{GA'}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA'}
De plus, G est le centre de gravité du triangle ABC, on a alors :
\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{0}
On obtient :
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
Que peut-on en déduire des points O, G et H ?
\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}
Les vecteurs \overrightarrow{OH} et \overrightarrow{OG} sont donc colinéaires, et les points O, G et H sont alignés.
Les points O, G et H sont donc alignés.